若函數(shù)f(x)滿足:在定義域D內(nèi)存在實數(shù)x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,則稱函數(shù)f(x)為“1的飽和函數(shù)”.給出下列四個函數(shù):①f(x)=
1
x
;②f(x)=2x;、踗(x)=lg(x2+2);④f(x)=cosπx,其中是1的飽和函數(shù)的所有函數(shù)的序號為 ( 。
A、②④B、①②④C、③④D、②③
考點:函數(shù)的值,抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:利用“1的飽和函數(shù)”的定義構(gòu)造方程,判斷方程是否有解,可得結(jié)論.
解答: 解:①f(x)=
1
x
,D=(-∞,0)∪(0,+∞),
若f(x)=
1
x
是“1的飽和函數(shù)”,
則存在非零實數(shù)x0,使得
1
x0+1
=
1
x0
,
即x02+x0+1=0,
因為此方程無實數(shù)解,
所以函數(shù)f(x)=
1
x
不是“1的飽和函數(shù)”.
②f(x)=2x,D=R,則存在實數(shù)x0,使得2x0+1=2x0+2,解得x0=1,
因為此方程有實數(shù)解,
所以函數(shù)f(x)=2x是“1的飽和函數(shù)”.
③f(x)=lg(x2+2),若存在x,使f(x+1)=f(x)+f(1)
則lg[(x+1)2+2]=lg(x2+2)+lg3
即2x2-2x+3=0,
∵△=4-24=-20<0,故方程無解.
即f(x)=lg(x2+2)不是“1的飽和函數(shù)”.
④f(x)=cosπx,存在x=
1
2
,使得f(x+1)=f(x)+f(1),
即f(x)=cosx是“1的飽和函數(shù)”.
故選:A
點評:本題考查“1的飽和函數(shù)”的判斷,是基礎(chǔ)題,解題時要注意函數(shù)的性質(zhì)的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F(1,0)過點F作任何兩條弦AC,BD,且
AC
BD
=0,E,G分別為AC,BD的中點.
(1)寫出拋物線C的方程;
(2)直線EG是否過定點?若過,求出該定點,若不過,說明理由;
(3)設(shè)直線EG交拋物線C于M,N兩點,試求|MN|的最小值.

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若函數(shù)f(x)=lnx-ax+1,a∈R有零點,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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畫出y=-2-x的圖象.

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設(shè){an}是等差數(shù)列,Sn是{an}的前n項和,已知a7=-2,S5=30.
(1)求an;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=(12-an
210-an
,Tn是{bn}的前n項和,求證:
Tn
bn
<2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

要使圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸的兩個交點分別位于原點的兩側(cè),則( 。
A、D2+E2-4F>0,且F>0
B、D<0,F(xiàn)>0
C、D≠0,F(xiàn)≠0
D、D2>4F,且F<0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法成立的個數(shù)是( 。
b
a
f(x)dx=
n
i=1
fi)
b-a
n

b
a
f(x)dx=
lim
n→∞
fi)
b-a
n
;
b
a
f(x)dx=
lim
n→∞
n
i=1
fi)
b-a
n
;
b
a
f(x)可以是一個函數(shù)式子.
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=100n-n2(n∈N+).
(1){an}是什么數(shù)列?
(2)設(shè)bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知y=(x2+1)3,則y′=
 

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