如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2AA1=2,sin∠ABC=
3
2
,D是BC的中點.
(1)求證:A1B平面AC1D;
(2)求證:平面AC1D⊥平面B1BCC1
(3)求三棱錐B-AC1D的體積.
(1)證明:連接A1C交AC1于點O,連接OD,
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面ACC1A1是矩形,∴A1O=OC.
又∵D是BC的中點,∴A1BOD.
∵A1B?平面AC1D,OD?平面AC1D.
∴A1B平面AC1D.
(2)在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點.
∴AD⊥BC.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥底面ABC,∴B1B⊥AD.
又B1B∩BC=B,∴AD⊥側(cè)面BCC1B1
∵AD?平面AC1D,
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1
(3)在Rt△ABD中,∵sin∠ABD=
3
2
,∴∠ABD=60°.
∵AB=2,∴AD=
3
,BD=1.
VB-AC1D=VC1-ABD=
1
3
S△ABD×C1C
=
1
3
×
1
2
×
3
×1×1
=
3
6
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D,且BA1⊥AC1
(1)求證:AC1⊥平面A1BC;
(2)求多面體B1C1ABC的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分PC,且分別交AC、PC于D、E兩點,又PB=BC,PA=AB.
(Ⅰ)求證:PC⊥平面BDE;
(Ⅱ)若點Q是線段PA上任一點,求證:BD⊥DQ;
(Ⅲ)求線段PA上點Q的位置,使得PC平面BDQ.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,四個側(cè)面都是等邊三角形,AC與BD的交點為O,E為側(cè)棱SC上一點.
(1)當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點時,求證:SA平面BDE;
(2)求證:平面BED⊥平面SAC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知某幾何體的三視圖如下圖所示,其中俯視圖為正三角形,設(shè)D為AA1的中點.
(Ⅰ)作出該幾何體的直觀圖并求其體積;
(Ⅱ)求證:平面BB1C1C⊥平面BDC1
(Ⅲ)BC邊上是否存在點P,使AP平面BDC1?若不存在,說明理由;若存在,證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知正三棱柱ABC-A1B1C1,D為棱CC1上任意一點,E為BC中點,F(xiàn)為B1C1的中點,證明:
(1)A1F平面ADE;
(2)平面ADE⊥平面BCC1B1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知AB⊥平面BCE,CDab,△BCE是正三角形,AB=BC=2CD.
(Ⅰ)在線段BE上是否存在一點F,使CF平面ADE?
(Ⅱ)求證:平面ADE⊥平面ABE;
(Ⅲ)求二面角A-DE-B的正切值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD.請指出圖中所有互相垂直的平面,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在空間坐標(biāo)系中的點M(x,y,z),若它的柱坐標(biāo)為(3,
π
3
,3)
,則它的球坐標(biāo)為( 。
A.(3,
π
3
,
π
4
)
B.(3
2
,
π
3
,
π
4
)
C.(3,
π
4
π
3
)
D.(3
2
,
π
4
,
π
3
)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案