【題目】如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，且點和分別為和的中點

（I）求證：平面；

（II）求二面角的正弦值；

（III）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求的長。

【答案】（I）見解析（II）（III）

【解析】

（I）建立空間直角坐標系，通過與面的法向量垂直可證得結果；（II）分別求解出平面和平面的法向量，求解出法向量成角的余弦值，根據(jù)同角三角函數(shù)關系可得所求正弦值；（III）假設，則與平面法向量的夾角的余弦值的絕對值即為直線和平面所成角的正弦值，從而構造方程求得，繼而求得.

（I）以為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系：

則，，，

，，，

平面的法向量

又，

，面 面

（II）設面的法向量，且，

，令，則，

設面的法向量，且，

，令，則，

即二面角的正弦值是

（III）設，則

又面的法向量

，解得：或（舍）

，即

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】一項針對都市熟男（三線以上城市，歲男性）消費水平的調查顯示，對于最近一年內是否購買過以下七類高價商品，全體被調查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被調查者，1980年以前出生（80前）被調查者回答“是”的比例分別如下：

全體被調查者

80后被調查者

80前被調查者

電子產(chǎn)品

56.9%

66.0%

48.5%

服裝

23.0%

24.9%

21.2%

手表

14.3%

19.4%

9.7%

運動、戶外用品

10.4%

11.1%

9.7%

珠寶首飾

8.6%

10.8%

6.5%

箱包

8.1%

11.3%

5.1%

個護與化妝品

6.6%

6.0%

7.2%

以上皆無

25.3%

17.9%

32.1%

根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷，以下分析錯誤的是（ ）

A. 都市熟男購買比例最高的高價商品是電子產(chǎn)品

B. 從整體上看，80后購買高價商品的意愿高于80前

C. 80前超過3成一年內從未購買過表格中七類高價商品

D. 被調查的都市熟男中80后人數(shù)與80前人數(shù)的比例大約為

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，是棱的中點.

（1）證明：平面；

（2）若是棱的中點，求三棱錐的體積與三棱柱的體積之比.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，有兩個圓和，其中，為正常數(shù)，滿足或，一個動圓與兩圓都相切，則動圓圓心的軌跡方程可以是（ ）

A.兩個橢圓B.兩個雙曲線

C.一個雙曲線和一條直線D.一個橢圓和一個雙曲線

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】解關于的不等式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點的坐標分別為，.三角形的兩條邊，所在直線的斜率之積是.

（1）求點的軌跡方程；

（2）設直線方程為，直線方程為，直線交于，點，關于軸對稱，直線與軸相交于點.若的面積為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中，，，為的中點.

（I）若為上的一點，且與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下，設異面直線與所成的角為45°，求直線與平面成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上，若P為動點，Q為動點，則PQ的最小值為_____.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；②存在每個面都是直角三角形的四面體；③若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則其三個側面也兩兩垂直；④棱臺的上、下底面可以不相似，但側棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是( )

A.B.C.D.

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