Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對于任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】試題分析：（1）先求導數(shù)，再求導函數(shù)零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，進而確定單調(diào)區(qū)間（2）先化簡不等式，利用變量分離得最小值，再利用基本不等式求最小值，即得實數(shù)的取值范圍；（3）先設切點，根據(jù)導數(shù)幾何意義建立方程，轉(zhuǎn)化為有三個不同的解，利用導數(shù)研究函數(shù)圖像，根據(jù)極值點位置確定實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，得．

因為=，

所以當時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當或時， ，函數(shù)單調(diào)遞減．

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和

（Ⅱ）由，得．

因為對于任意都有成立，

即對于任意都有成立，

即對于任意都有成立，

設, ,

則

等號成立當且僅當即.

所以實數(shù)的取值范圍為．

（Ⅲ）設點是函數(shù)圖象上的切點，

則過點的切線的斜率為，

所以過點的切線方程為．

因為點在切線上，

即．

若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線，

則方程有三個不同的實數(shù)解．

令，則函數(shù)與軸有三個不同的交點．

令，解得或．

因為， ，

所以必須，即．

所以實數(shù)的取值范圍為．