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【題目】如圖,在矩形中,已知,點、分別在上,且,將四邊形沿折起,使點在平面上的射影在直線上.

(I)求證: ;

(II)求點到平面的距離;

(III)求直線與平面所成的正弦值.

【答案】(1)見解析(2)2(3)

【解析】試題分析:

(1)由折疊關系可得平面,

(2)利于題意結合勾股定理列方程組,求解可得點到平面的距離為2;

(3)做出直線與平面所成的角,結合(1)(2)的結論可得直線與平面所成的正弦值為.

試題解析:

解:(1)由于平面, ,又由于 ,

平面,

法一:(2)設, ,過垂直,

因線段 在翻折過程中長度不變,根據勾股定理:

,可解得,

線段長度為,即點的平面的距離為

(2)延長于點,因為

到平面的距離為點到平面距離的,

平面的距離為,而

直線與平面新角的正弦值為

法二:(2)如圖,過點,過點平面,分別以、、軸建立空間直角坐標系,設點,由于,

解得于是,所以線段的長度為

即點到平面的距離為

(3)從而,故

設平面的一個法向量為,設直線與平面所成角的大小為,

練習冊系列答案
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(Ⅱ)若對任意恒成立,求實數的取值范圍.

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