Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求零點的個數；

（3）若為整數，且當時， 恒成立，求的最大值.

（參考數據， ， ）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，由，且，即可求解再點處的切線方程；

（2）當時， ，求得，從而得到在， 單調遞減，當時， 單調遞增，確定函數的極值，再根據零點的存在定理，即可得到函數有兩個不同的零點.

（3）由題意知， 對恒成立，即對恒成立，令，得，從而判定出函數的單調性，進而得到存在， ，即，得到函數的最小值，再由

，所以的取值范圍，得出結論.

試題解析：

（1）當時， .因為，從而.

又，所以曲線在點處的切線方程，

即.

（2）當時， .因為，從而，

當， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增.

所以當時， 有極小值.

因， ，所以在之間有一個零點.

因為，所以在之間有一個零點.

從而有兩個不同的零點.

（3）由題意知， 對恒成立，

即對恒成立.

令，則.

設，則.

當時， ，所以在為增函數.

因為， ，

所以存在， ，即.

當時， ， 單調遞減，當時， ， 單調遞增.

所以當時， 的最小值.

因為，所以.

故所求的整數的最大值為.