Question

【題目】如圖，五面體中，，平面平面，平面平面.，，點(diǎn)P是線段上靠近A的三等分點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，分別取，的中點(diǎn)M，N，連接，，，.

由題可知，.設(shè)，則，由平面平面，得平面，同理平面.，從而.，則平面；由，所以，所以是以為斜邊的等腰直角三角形，再由，，得到.則平面.，再由面面平行的判斷定理得到平面平面，從而得證。

（Ⅱ）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，得到，.求得平面的一個(gè)法向量，再求得的坐標(biāo)，利用線面角的向量法求解。

（Ⅰ）

如圖，分別取，的中點(diǎn)M，N，連接，，，.

由題可知，.設(shè)，

易知，且.

因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面.同理平面.

所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

故平面.

因?yàn)?/span>，，

所以.

因?yàn)?/span>，

所以，

所以是以為斜邊的等腰直角三角形，

所以，而，則.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

因?yàn)?/span>，

所以平面平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面.

（Ⅱ）

如圖，連接，以P為原點(diǎn)，，所在直線分別為x軸，y軸，以過點(diǎn)P且垂直于平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

則，，，，，

所以，.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

則即

取，則，，即.

易知.

設(shè)直線與平面所成的角為.

故，

即直線與平面所成角的正弦值為.