【題目】設函數,其中是自然對數的底數.
(1)若,,證明;
(2)是否存在實數,使得函數在區(qū)間上有兩個零點?若存在,求出的取值范圍:若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)不存在實數,詳見解析
【解析】
(1)分類討論,時直接證明,時,利用導數研究函數的單調性,最小值可證得不等式成立;
(2)時,由(1)可知無零點,時,仍然利用導數研究函數的單調性,函數極值,結合零點存在定理確定零點個數.
(1)證明:①若,則當時,,,所以;
②若,因為,
設,,
當時,,所以在上單調遞增,
所以,
所以在上單調遞增,所以,
綜上所述,若,,則.
(2)不存在實數,使得函數在區(qū)間上有兩個零點.
理由如下:
(1)若,由(1)知,在上單調遞增,且,所以函數在區(qū)間上無零點;
(2)若,由(1)知,當時,
所以在上單調遞增.因為,,
所以在上存在唯一的零點,
即方程在上存在唯一解,
且當時,,當,,
所以函數在上單調遞減,在上單調遞增,
當時,,所以在無零點;
當時,,,
所以在上有唯一零點,
故當時,在上有一個零點,
綜上所述,不存在實數,使得函數在區(qū)間上有兩個零點.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數方程為,(為參數).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標系,直線經過點,且與極軸所成的角為.
(1)求曲線的普通方程及直線的參數方程;
(2)設直線與曲線交于兩點,若,求直線的普通方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】最近幾年汽車金融公司發(fā)展迅猛,主要受益于監(jiān)管層面對消費進人門檻的降低,互聯(lián)網信貸消費的推廣普及,以及汽車銷售市場規(guī)模的擴張.如圖是2013﹣2017年汽車金融行業(yè)資產規(guī)模統(tǒng)計圖(單位:億元).
(1)以年份值2013,2014,…為橫坐標,汽車金融行業(yè)資產規(guī)模(單位:億元)為縱坐標,求y關于x的線性回歸方程;
(2)利用(1)中的回歸方程,預計2018年汽車金融行業(yè)資產規(guī)模(精確到億元).
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,(其中,為樣本平均值).
參考數據:4.620×107,20154.619×107.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(1)當時,求在處的切線方程;
(2)令,已知函數有兩個極值點,且,
①求實數的取值范圍;
②若存在,使不等式對任意(取值范圍內的值)恒成立,求實數的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《算法統(tǒng)宗》是中國古代數學名著,由明代數學家程大位所著,該作完善了珠算口訣,確立了算盤用法,完成了由籌算到珠算的徹底轉變,該作中有題為“李白沽酒”“李白街上走,提壺去買酒。遇店加一倍,見花喝一斗,三遇店和花,喝光壺中酒。借問此壺中,原有多少酒?”,如圖為該問題的程序框圖,若輸出的值為0,則開始輸入的值為( )
A. B.
C. D.
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【題目】網購已經成為一種新型的購物方式,2018年天貓雙11,僅1小時47分鐘成交額超過1000億元,比2017年達到1000億元的時間縮短了7個小時,為了研究市民對網購的依賴性,從A城市16﹣59歲人群中抽取一個容量為100的樣本,得出下列2×2列聯(lián)表,其中16﹣39歲為青年,40﹣59歲為中年,當日消費金額超過1000元為消費依賴網購,否則為消費不依賴網購.
依賴網購 | 不依賴網購 | 小計 | |
青年(16﹣39歲) | 40 | 20 | |
中年(40﹣59歲) | 20 | 20 | |
小計 |
(1)完成2×2列聯(lián)表,計算X2值,并判斷是否有95%的把握認為網購依賴和年齡有關?
(2)把樣本中的頻率當作概率,隨機從A城市中選取5人,其中依賴網購的人數為隨機變量X,求隨機變量X的分布列及期望(附:X2,當X2>3.841時,有95%的把握說事件A與B有關,當X2≤3.841時,沒有95%的把握說事件A與B有關)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)要設計制造一批大小、規(guī)格相同的長方體封閉水箱,已知每個水箱的表面積為432(每個水箱的進出口所占面積與制作材料的厚度均忽略不計).每個長方體水箱的底面長是寬的2倍.現(xiàn)設每個長方體水箱的底面寬是,用表示每個長方體水箱的容積.
(1)試求函數的解析式及其定義域;
(2)當為何值時,有最大值,并求出最大值.
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