Question

已知x=2是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+0.5x²-4x的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若直線y=b與函數(shù)f（x）的圖象有3個不同的交點，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，再把（2，0）代入求出a的值即可；（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，分別令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，解不等式從而求出單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）知，f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)增加，在（1，2）內(nèi)單調(diào)減少，在（2，+∞）上單調(diào)增加，當(dāng)x=1或x=2時，f′（x）=0，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出極值，進(jìn)而確定b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

a

1+x

+x-4，
∴f′（2）=

a

1+2

+2-4=0，
∴a=6．
（2）由（1）知，f（x）=6ln（1+x）+0.5x²-4x，x∈（-1，+∞），
∴f′（x）=

6

1+x

+x-4=

(x-1)(x-2)

1+x

，
當(dāng)x∈（-1，1）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，2）時，f′（x）＜0，
∴f （x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（1，2）．
（3）由（2）知，f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)增加，在（1，2）內(nèi)單調(diào)減少，在（2，+∞）上單調(diào)增加，
當(dāng)x=1或x=2時，f′（x）=0，
∵f（16）＞16²-10×16＞16ln2-9=f（1），f（e^-2-1）＜-32+11=-21＜f（3），
∴f（x）的極大值為f（1）=6ln2-3.5，極小值為f（2）=6ln3-6．
又x→-1時，f（x）→-∞，
f（8）=6ln9+0.5×8²-4×8=12ln3＞6ln2-3.5．
∴在f（x）的三個單調(diào)區(qū)間（-1，1），（1，2），（2，+∞），
若直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個交點，當(dāng)且僅當(dāng)f（2）＜b＜f（1），
∴b的取值范圍為（6ln3-6，6ln2-3.5）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．