Question

已知x為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z=（x²+x-2）+（x²+3x+2）i．
（Ⅰ）當(dāng)x為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)？
（Ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z落在直線y=-mx+n上，其中mn＞0，求

1

m

+

1

n

的最小值及取得最值時(shí)的m、n值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念,基本不等式

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（Ⅰ）復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，虛部不為0，求出x即可；
（Ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，求出m、n的關(guān)系，其中mn＞0，利用基本不等式求

1

m

+

1

n

的最小值及取得最值時(shí)的m、n值．

解答： 解：（Ⅰ）復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，∴

x2+x-2=0 x2+3x+2≠0

，解得x=1．
（Ⅱ）當(dāng)x=0時(shí)，復(fù)數(shù)z（-2，2），復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z落在直線y=-mx+n上，∴2m+n=2，
∵mn＞0，∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（m+

n

2

）=

3

2

+

m

n

+

n

2m

≥

3

2

+

2

當(dāng)且僅當(dāng)n2=2m2等號成立，
又2m+n=2，
∴m=2-

2

，n=2

2

-2．

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．