【題目】2019年4月,甲乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考,現(xiàn)從這兩校參加考試的學(xué)生數(shù)學(xué)成績在100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷,并將這40份試卷的得分制作成如下的莖葉圖.
(1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);
(2)若把數(shù)學(xué)成績不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),判斷是否有90的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān);
(3)若從這40名學(xué)生中選取數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生,用分層抽樣的方式從甲乙兩校中抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人分析其失分原因,求這3人中恰有2人是乙校學(xué)生的概率.
參考公式與臨界值表:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)莖葉圖分別求出甲乙兩校數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)后進(jìn)行比較即可得到結(jié)論.(2)根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表,由表中數(shù)據(jù)得到,由此可得結(jié)論.(3)根據(jù)分層抽樣的方法可得從甲校抽取2人、乙校抽3人,然后根據(jù)古典概型概率求解即可.
(1)由莖葉圖可知,甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為,乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為,
所以這40份試卷的成績,甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)比乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)高.
(2)由題意,得到列聯(lián)表如下:
甲校 | 乙校 | 合計(jì) | |
數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 | 10 | 7 | 17 |
數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀 | 10 | 13 | 23 |
合計(jì) | 20 | 20 | 40 |
由表中數(shù)據(jù)可得,,
所以沒有90的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān).
(3)這40名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績在的甲校有4人,乙校有6人,用分層抽樣的方式抽取5人,則甲校抽取2人,分別記作;乙校抽3人,分別記作.
從這5人中隨機(jī)抽取3人,所有可能的結(jié)果有:
,共10種,
其中乙校學(xué)生恰有2人的結(jié)果有:,共6種,
所以所求概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,,, 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求證:直線平面;
(Ⅱ)若為的中點(diǎn),求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè),當(dāng)為何值時,直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱長為a的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),Q為A1B1上任意一點(diǎn),E、F為CD上任意兩點(diǎn),且EF的長為定值,則下面的四個值中不為定值的是( )
A.點(diǎn)P到平面QEF的距離
B.直線PQ與平面PEF所成的角
C.三棱錐P﹣QEF的體積
D.二面角P﹣EF﹣Q的大小
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在中,,的中點(diǎn)為,點(diǎn)在的延長線上,且.固定邊,在平面內(nèi)移動頂點(diǎn),使得圓分別與邊,的延長線相切,并始終與的延長線相切于點(diǎn),記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.以所在直線為軸,為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖②所示.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),,直線,分別交曲線于點(diǎn),,設(shè),,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線,的公共點(diǎn)為.
(Ⅰ)求直線的斜率;
(Ⅱ)若點(diǎn)分別為曲線,上的動點(diǎn),當(dāng)取最大值時,求四邊形的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由無理數(shù)論引發(fā)的數(shù)字危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì),直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī),所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與,且滿足,,中的每一個元素都小于中的每一個元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項(xiàng)中,可能成立的是____.
①沒有最大元素,有一個最小元素;②沒有最大元素,也沒有最小元素;
③有一個最大元素,有一個最小元素;④有一個最大元素,沒有最小元素.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l:過拋物線C:的焦點(diǎn)F,且與拋物線C交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為M、N,則下列說法錯誤的是
A. 拋物線的方程為B. 線段AB的長度為
C. D. 線段AB的中點(diǎn)到y軸的距離為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)面底面ABCD,且,設(shè)E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAD;
(2)求直線EF與平面PBD所成角的正弦值.
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