如圖(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分別為AC、AB的中點,將△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點,得到圖(2).

(1)求證:EF⊥A′C;
(2)求三棱錐FA′BC的體積.

(1)見解析   (2)

解析(1)證明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位線,
∴EF⊥AC,
在四棱錐A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,
又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,
又A′C?平面A′EC,
∴EF⊥A′C.
(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,
∴S△FBC=BC·EC=4,
∵A′O⊥平面BCEF,
∴A′O⊥EC,
又∵O為EC的中點,
∴△A′EC為正三角形,邊長為2,
∴A′O=,
∴==S△FBC·A′O=×4×=.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖：已知長方體的底面是邊長為的正方形，高，為的中點，與交于點．
（1）求證：平面；
（2）求證：∥平面；
（3）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，.

（1）證明:：；
（2）證明：；
（3）若，且平面平面，求三棱錐體積.

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在如圖所示的多面體中，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為2，四邊形ABDC是菱形．

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(2)求該多面體的體積．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB.

(1)求證：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，圓錐的軸截面為等腰直角， 為底面圓周上一點．

（1）若的中點為，,求證平面；
（2）如果,,求此圓錐的全面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

一個幾何體的三視圖如下圖所示，已知正(主)視圖是底邊長為1的平行四邊形，側(左)視圖是一個長為，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．

(1)求該幾何體的體積V；
(2)求該幾何體的表面積S.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點在線段上，平面．

（1）證明：平面.；
（2）若，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，△PBC為正三角形，PA⊥底面ABCD，其三視圖如圖所示，俯視圖是直角梯形．
 
(1)求正視圖的面積；
(2)求四棱錐P－ABCD的體積．

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