如圖：已知長方體的底面是邊長為的正方形，高，為的中點，與交于點．
（1）求證：平面；
（2）求證：∥平面；
（3）求三棱錐的體積．

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

解析試題分析：（1）要證平面，就要在平面內(nèi)找兩條與垂直的相交直線，由于是正方形，因此有，而在長方體中，側(cè)棱與底面垂直，從而一定有，兩條直線找到了；（2）要證平面，就應該在平面內(nèi)找一條直線與平行，觀察圖形發(fā)現(xiàn)平面與平面相交于直線（是與的交點），那么就是我們要找的平行線，這個根據(jù)中位線定理可得；（3）求三梭錐的體積，一般是求出其底的面積和高（頂點到底面的距離），利用體積公式得到結(jié)論，本題中點到底面的距離，即過到底面垂直的直線比較難以找到，考慮到三棱錐的每個面都是三角形，因此我們可以換底，即以其他面為底面，目的是高易求，由于長方體的底面是正方形，其中垂直關系較多，可證平面，即平面，因此以為底，就是高，體積可得.
試題解析：（1）底面是邊長為正方形，
底面，平面        3分
，平面    5分
（2）連結(jié)，為的中點，為的中點
∥，        7分
又平面，平面
∥平面        10分
（3），

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面為一直角梯形，側(cè)面PAD是等邊三角形，其中，，平面底面，是的中點．

(1)求證：//平面；
(2)求證：；
(3)求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，，°，平面平面，，分別為，中點．
（1）求證：∥平面；
（2）求證：；
（3）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，底面，，且，
點是的中點，且交于點.
（1）求證：平面；
（2）當時，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，AB是圓O的直徑，點C是弧AB的中點，點V是圓O所在平面外一點，是AC的中點，已知，．
（1）求證：AC⊥平面VOD；
（2）求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．

（1）求證：AC⊥DE；
（2）求四棱錐P－ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在體積為的正三棱錐中，長為，為棱的中點，求

（1）異面直線與所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）正三棱錐的表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

圓錐PO如圖1所示，圖2是它的正（主）視圖.已知圓O的直徑為AB，C是圓周上異于A,B的一點，D為AC的中點.

（1）求該圓錐的側(cè)面積S；
（2）求證：平面PAC平面POD；
（3）若，在三棱錐A-PBC中，求點A到平面PBC的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分別為AC、AB的中點,將△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點,得到圖(2).

(1)求證:EF⊥A′C;
(2)求三棱錐FA′BC的體積.

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