Question

如圖，三棱錐P-ABC，D為AC的中點，PA=PB=PC=

5

，AC=2

2

，AB=

2

，BC=

6

． 
（1）求證：PD⊥底面ABC；
（2）求二面角P-AB-C的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件條件出PD⊥AC，PD⊥BD，由此能證明PD⊥底面ABC．
（2）過點D作DE⊥AB，連結(jié)PE，由三垂線定理知∠PED是二面角P-AB-C的平面角，由此能求出二面角P-AB-C的正切值．

解答： （1）證明：連結(jié)BD，
∵三棱錐P-ABC，D為AC的中點，PA=PB=PC=

5

，
AC=2

2

，AB=

2

，BC=

6

，
∴PD⊥AC，AB⊥BC，
∴BD=

1

2

AC=

2

，PD=

5-2

=

3

，
∴BD²+PD²=PB²，∴PD⊥BD，
∵AC∩BD=D，
∴PD⊥底面ABC．
（2）解：由（1）知PD⊥底面ABC，
過點D作DE⊥AB，連結(jié)PE，
由三垂線定理知∠PED是二面角P-AB-C的平面角，
∵D是AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

BC=

6

2

，
∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

6 2

=

2

．
∴二面角P-AB-C的正切值為

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題考查直線與底面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．