已知橢圓C：的離心率為，
直線：y=x+2與原點(diǎn)為圓心，以橢圓C的短軸長(zhǎng)為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點(diǎn)，使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

(Ⅰ).
（Ⅱ）存在滿足題意的點(diǎn)（m,0）且實(shí)數(shù)的取值范圍為：.

解析試題分析：(Ⅰ)利用離心率公式，得到，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，得到，得到，從而得到橢圓C的方程.（Ⅱ）通過假設(shè)的方程為（），與橢圓方程聯(lián)立，應(yīng)用韋達(dá)定理確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用“向量法”得到. 將表示成應(yīng)用導(dǎo)數(shù)或均值定理確定的范圍.
試題解析：(Ⅰ)， 2分
∵直線：y=x+2與圓x2+y2=b2相切，
∴，解得，則a2="4." 4分
故所求橢圓C的方程為. 5分
（Ⅱ）在軸上存在點(diǎn)，使得是以GH為底邊的等腰三角形.  6分
理由如下：
設(shè)的方程為（），
由
因?yàn)橹本�與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，所以
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/d/1jhyl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
設(shè)，，則.     7分
.
=
.
由于等腰三角形中線與底邊互相垂直，則.    8分
所以.
故.
即
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/d/1jhyl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.所以.

設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以
，    10分
所以  11分
（若學(xué)生用基本不等式求解無(wú)證明扣1分）
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e4/d/1jhyl2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.  所以，.
故存在滿足題意的點(diǎn)（m,0）且實(shí)數(shù)的取值范圍為：.    12分
考點(diǎn)：1、橢圓的幾何性質(zhì)，2、直線與橢圓的位置關(guān)系，3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過點(diǎn)且與曲線交于，兩點(diǎn)．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

拋物線與直線相切，是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，且.
（1）求的值;
（2）求點(diǎn)的坐標(biāo);
（3）求直線的斜率的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C：的離心率等于，點(diǎn)P在橢圓上。
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，是否存在定直線：，使得與的交點(diǎn)總在直線上？若存在，求出一個(gè)滿足條件的值；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知?jiǎng)訄AC經(jīng)過點(diǎn)，且在x軸上截得弦長(zhǎng)為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)的直線m交曲線E于A，B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)分別作曲線E的切線，兩切線交于點(diǎn)C，當(dāng)△ABC的面積為時(shí)，求直線m的方程.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

極坐標(biāo)系中橢圓C的方程為以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度.
（Ⅰ）求該橢圓的直角標(biāo)方程；若橢圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，求的取值范圍；
（Ⅱ）若橢圓的兩條弦交于點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，
求證:.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,試問：當(dāng)變化時(shí)，直線與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

經(jīng)過點(diǎn)且與直線相切的動(dòng)圓的圓心軌跡為．點(diǎn)、在軌跡上，且關(guān)于軸對(duì)稱，過線段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使直線與軌跡在點(diǎn)處的切線平行，設(shè)直線與軌跡交于點(diǎn)、．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點(diǎn)到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線，過軸上一點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)兩點(diǎn)。
證明，存在唯一一點(diǎn)，使得為常數(shù)，并確定點(diǎn)的坐標(biāo)。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案