已知動圓C經(jīng)過點,且在x軸上截得弦長為2,記該圓圓心的軌跡為E.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)過點的直線m交曲線E于A,B兩點,過A,B兩點分別作曲線E的切線,兩切線交于點C,當△ABC的面積為時,求直線m的方程.
(Ⅰ)x2=2y;(Ⅱ)直線m的方程為y=±x+.
解析試題分析:(Ⅰ)根據(jù)定義法確定軌跡為拋物線,然后借助圓C被x軸截得弦長的最小值為1求解參數(shù)m的值;(Ⅱ)利用導數(shù)的幾何意義求解拋物線的切線方程,然后將三角形面積進行表示,其底邊用弦長公式進行表示,高用點到直線的距離進行表示,得到含有直線m的斜率k的等式.
試題解析:(Ⅰ)設圓C的圓心坐標為(x,y),則其半徑r=.
依題意,r2-y2=1,即x2+(y-1)2-y2=1,
整理得曲線E的方程為x2=2y. …4分
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1=,y2=.
設直線m方程為y=kx+,代入曲線E方程,得
x2-2kx-1=0,則x1+x2=2k. …6分
對y=x2求導,得y¢=x.
于是過點A的切線為y=x1(x-x1)+,即y=x1x-. ①
由①同理得過點B的切線為y=x2x-. ②
設C(x0,y0),由①、②及直線m方程得
x0==k,y0=x1x0-=-. 8分
M為拋物線的焦點,y=-為拋物線的準線,由拋物線的定義,得
|AB|=y(tǒng)1++y2+=k(x1+x2)+2=2(k2+1).
點C到直線m的距離d==. 10分
所以△ABC的面積S=|AB|·d=(k2+1).
由已知(k2+1)=2,有且僅有k=±1.
故直線m的方程為y=±x+. 12分
考點:1.軌跡方程;2.拋物線的切線;3.三角形面積公式.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
經(jīng)過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為.點在軌跡上,且關于軸對稱,過線段(兩端點除外)上的任意一點作直線,使直線與軌跡在點處的切線平行,設直線與軌跡交于點.
(1)求軌跡的方程;
(2)證明:;
(3)若點到直線的距離等于,且的面積為20,求直線的方程.
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如圖,在平面直角坐標系中,已知,,,直線與線段、分別交于點、.
(1)當時,求以為焦點,且過中點的橢圓的標準方程;
(2)過點作直線交于點,記的外接圓為圓.
①求證:圓心在定直線上;
②圓是否恒過異于點的一個定點?若過,求出該點的坐標;若不過,請說明理由.
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已知橢圓的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切,直線與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;(2)求的取值范圍;
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設橢圓的左右頂點分別為,離心率.過該橢圓上任一點作軸,垂足為,點在的延長線上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動點的軌跡的方程;
(3)設直線(點不同于)與直線交于點,為線段的中點,試判斷直線與曲線的位置關系,并證明你的結論.
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已知橢圓C:的離心率為,
直線:y=x+2與原點為圓心,以橢圓C的短軸長為直
徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過點的直線與橢圓交于,兩點.設直線的斜率,在軸上是否存在點,使得是以GH為底邊的等腰三角形. 如果存在,求出實數(shù)的取值范圍,如果不存在,請說明理由.
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已知、分別是橢圓: 的左、右焦點,點在直線上,線段的垂直平分線經(jīng)過點.直線與橢圓交于不同的兩點、,且橢圓上存在點,使,其中是坐標原點,是實數(shù).
(Ⅰ)求的取值范圍;
(Ⅱ)當取何值時,的面積最大?最大面積等于多少?
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已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)如果過點的直線與橢圓交于兩點(點與點不重合),
①求的值;
②當為等腰直角三角形時,求直線的方程.
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如圖,為半圓,為半圓直徑,為半圓圓心,且,為線段的中點,已知,曲線過點,動點在曲線上運動且保持的值不變.
(I)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄的方程;
(II)過點的直線與曲線交于兩點,與所在直線交于點,,證明:為定值.
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