Question

【題目】四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面底面ABCD，已知， 為正三角形．

（1）證明．

（2）若，，求二面角的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）二面角的余弦值為．

【解析】

（1）作于點，連接，根據面面垂直性質可得底面ABCD，由三角形全等性質可得，進而根據線面垂直判定定理證明平面，即可證明.

（2）根據所給角度和線段關系，可證明以均為等邊三角形，從而取中點，連接，即可由線段長結合余弦定理求得二面角的大小.

（1）證明：作于點，連接，如下圖所示：

因為側面底面ABCD，

則底面ABCD，

因為 為正三角形，則,

所以，即，

又因為，

所以，而,

所以平面，

所以.

（2）由（1）可知，，，

所以，

又因為，所以，即為中點.

由等腰三角形三線合一可知，

在中，由等腰三角形三線合一可得，

所以均為邊長為2的等邊三角形，

取中點，連接，如下圖所示：

由題意可知，即為二面角的平面角，

所以在中由余弦定理可得

，

即二面角的余弦值為．