【題目】已知橢圓C:=1(a>b>0),點(diǎn)A、B分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),直線AB與圓G:x2+y2=(c是橢圓的半焦距)相離,P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓G的兩切線,切點(diǎn)分別為M、N.
(1)若橢圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、,求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)c為定值時(shí),求證:直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)E,并求·的值(O是坐標(biāo)原點(diǎn));
(3)若存在點(diǎn)P使得△PMN為正三角形,試求橢圓離心率的取值范圍..
【答案】(1)=1.(2)見(jiàn)解析(3)
【解析】(1)解:令橢圓mx2+ny2=1,其中m=,n=,得所以m=,n=,即橢圓方程為=1.
(2)證明:直線AB:=1,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則OP的中點(diǎn)為,所以點(diǎn)O、M、P、N所在的圓的方程為=,化簡(jiǎn)為x2-x0x+y2-y0y=0,與圓x2+y2=作差,即直線MN:x0x+y0y=.
因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在直線AB上,得=1,
所以x0 +=0,即
得x=-,y=,故定點(diǎn)E ,·==.
(3)解:由直線AB與圓G:x2+y2= (c是橢圓的焦半距)相離,則>,即4a2b2>c2(a2+b2),4a2(a2-c2)>c2(2a2-c2),得e4-6e2+4>0.因?yàn)?<e<1,所以0<e2<3- ①.連結(jié)ON、OM、OP,若存在點(diǎn)P使△PMN為正三角形,則在Rt△OPN中,OP=2ON=2r=c,所以≤c,a2b2≤c2(a2+b2),a2(a2-c2)≤c2(2a2-c2),得e4-3e2+1≤0.因?yàn)?<e<1,所以≤e2<1,②.由①②得≤e2<3-,所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于數(shù)列,定義, .
(1) 若,是否存在,使得?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2) 若, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3) 令,求證:“為等差數(shù)列”的充要條件是“的前4項(xiàng)為等差數(shù)列,且為等差數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓方程為.
(1)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、,點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng),求的值;
(2)設(shè)直線和圓相切,和橢圓交于、兩點(diǎn),為原點(diǎn),線段、分別和圓交于、兩點(diǎn),設(shè)、的面積分別為、,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列共有項(xiàng),記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為,該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為,.
(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)試構(gòu)造一個(gè)數(shù)列,滿足,其中是公差不為零的等差數(shù)列,是等比數(shù)列,使得對(duì)于任意給定的正整數(shù),數(shù)列都是單調(diào)遞增的,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】高三年級(jí)某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,成績(jī)分組區(qū)間為:.其中a,b,c成等差數(shù)列且.物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表.(說(shuō)明:數(shù)學(xué)滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數(shù) | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,請(qǐng)估計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;
(2)根據(jù)物理成績(jī)統(tǒng)計(jì)表,請(qǐng)估計(jì)物理成績(jī)的中位數(shù);
(3)若數(shù)學(xué)成績(jī)不低于140分的為“優(yōu)”,物理成績(jī)不低于90分的為“優(yōu)”,已知本班中至少有一個(gè)“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人,從數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)”的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好均為物理成績(jī)“優(yōu)”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線過(guò)點(diǎn),且P到拋物線焦點(diǎn)的距離為2直線過(guò)點(diǎn),且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)Q恰為線段AB的中點(diǎn),求直線的方程;
(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)作直線MA,MB分別交拋物線于C,D兩點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)C,D,Q三點(diǎn)能否共線?若能,求出直線的斜率;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的狀態(tài),從期中考試成績(jī)中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī),按成績(jī)分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)(保留到0.01);
(2)該校高一年級(jí)共有1000名學(xué)生,若本次考試成績(jī)90分以上(含90分)為“優(yōu)秀”等次,則根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到“優(yōu)秀”等次的人數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC=120°.
(1)證明:AD⊥BA1;
(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直線BA1與平面A1B1CD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù),若存在定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間,使得在上的值域也是,則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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