Question

【題目】對于函數(shù)，若存在定義域內(nèi)某個區(qū)間，使得在上的值域也是，則稱函數(shù)在定義域上封閉.如果函數(shù)在上封閉，那么實數(shù)的取值范圍是______.

Answer 1

【答案】

【解析】

先用定義證明函數(shù)在上遞增,再根據(jù)奇偶性可得函數(shù)在上為增函數(shù),然后討論和可得的單調(diào)性,當(dāng)時,依題意可得是的兩個不同的實數(shù)解,由此可解得.當(dāng)時,依題意可得,由此可推出.

.設(shè),則,

因為,所以,

所以函數(shù)在上遞增,

又函數(shù)為奇函數(shù),所以函數(shù)在上為增函數(shù),

當(dāng)時,函數(shù)為增函數(shù), 因為在上的值域也是,所以,即,

即是的兩個不同的實數(shù)解,解得或,

由得,

當(dāng)時,為遞減函數(shù), 因為在上的值域也是,所以,即 ,

因為,所以,

所以,所以,因為,所以,即,

所以,所以,即.

綜上所述:或.

故答案為: .