Question

【題目】設(shè)數(shù)列共有項，記該數(shù)列前項中的最大項為，該數(shù)列后項中的最小項為，．

（1）若數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式；

（3）試構(gòu)造一個數(shù)列，滿足，其中是公差不為零的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，使得對于任意給定的正整數(shù)，數(shù)列都是單調(diào)遞增的，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）

【解析】

試題（1）由題意得：因為單調(diào)遞增，所以，，所以，．本小題目的引導(dǎo)閱讀題意，關(guān)鍵在于確定數(shù)列單調(diào)性（2）本題是逆問題，關(guān)鍵仍是確定數(shù)列單調(diào)性：因為，所以，可得即，又因為，所以單調(diào)遞增，則，，所以，可得是公差為2的等差數(shù)列，（3）由上面兩小題可知，構(gòu)造數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列：等差數(shù)列的公差為正數(shù)，等比數(shù)列的首項為負，公比，若等比數(shù)列的首項為正，公比，由（1）知不滿足數(shù)列是單調(diào)遞增的

試題解析：（1）因為單調(diào)遞增，所以，，

所以，．

（2）根據(jù)題意可知，，，因為，所以

可得即，又因為，所以單調(diào)遞增，

則，，所以，即，，

所以是公差為2的等差數(shù)列，，．

（3）構(gòu)造，其中，．

下證數(shù)列滿足題意．

證明：因為，所以數(shù)列單調(diào)遞增，

所以，，

所以，，

因為，

所以數(shù)列單調(diào)遞增，滿足題意．

（說明：等差數(shù)列的首項任意，公差為正數(shù)，同時等比數(shù)列的首項為負，公比，這樣構(gòu)造的數(shù)列都滿足題意．）