如圖(1),四邊形ABCD中,E是BC的中點,DB=2,DC=1,BC=,AB=AD=.將圖(1)沿直線BD折起,使得二面角A­BD­C為60°,如圖(2).

(1)求證:AE⊥平面BDC;
(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值.
(1)見解析   (2)
解:(1)證明:取BD的中點F,連接EF,AF,
則AF=1,EF=,∠AFE=60°.
由余弦定理知
AE=.
∵AE2+EF2=AF2,∴AE⊥EF.
∵AB=AD,F(xiàn)為BD中點.∴BD⊥AF.
又BD=2,DC=1,BC=
∴BD2+DC2=BC2,
即BD⊥CD.
又E為BC中點,EF∥CD,∴BD⊥EF.
又EF∩AF=F,
∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE,
∵BD∩EF=F,
∴AE⊥平面BDC.
(2)以E為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A,

C,
B,
D,=(2,0,0),
.
設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),

取z=,
則y=-3,又∵n=(0,-3,).
∴cos〈n,〉==-.
故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為.
練習(xí)冊系列答案
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A.B.
C.D.

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