Question

如圖，四棱錐中,，底面為梯形，，，且，.

（1）求證：;
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)試題解析；（2）.

試題分析：（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).由長(zhǎng)度比例關(guān)系可知,得到.再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定得到;（2）方法一：采用空間向量法，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，垂直為軸，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，那么點(diǎn)確定.再根據(jù)向量關(guān)系求出二面角的平面角的余弦值為；方法二：純幾何法，取的中點(diǎn),延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn),根據(jù)三角形相似關(guān)系可以得到二面角的平面角為.
試題解析：（1）連結(jié),交于點(diǎn),連結(jié)， 
∵，， ∴
又 ∵, ∴
∴ 在△BPD中，
 
∴∥平面

（2）方法一：以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，，．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
則，，∴，
解得，∴．
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，，
又，，∴，
解得，∴ 

∴二面角的余弦值為．
方法二：在等腰Rt中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則 

∵面⊥面，面面=，∴平面．
在平面內(nèi)，過(guò)作直線(xiàn)于，連結(jié)，由、，
得平面，故．
∴就是二面角的平面角．
在中，設(shè)，，，
，，
由，可知：∽，
∴，  代入解得：．
在中，，
∴，．
∴二面角的余弦值為．