Question

【題目】如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點(diǎn)，，且．

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求二面角的大�。�

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 見解析.(Ⅱ) 60°.

【解析】分析：由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過(guò)A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，分別以直線AC和AE為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz．則：

(Ⅰ)由空間向量的運(yùn)算法則可得：,，據(jù)此可得平面；

(Ⅱ)由題意可得平面EAB的一個(gè)法向量為，平面EBC的一個(gè)法向量為，據(jù)此計(jì)算可得：二面角的大小為60°.

詳解：∵四邊形是正方形 ，

，∵平面平面，

平面，

∴可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，以過(guò)點(diǎn)平行于的直線為軸，分別以直線和為軸和軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，

∵是正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，．

(Ⅰ)，，，

，

平面．

(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為，

則且，

且．

即

取，則， 則．

又∵為平面的一個(gè)法向量，且，

，

設(shè)二面角的平面角為，則，．

∴二面角等于．