Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）以曲線上的點(diǎn)為切點(diǎn)做曲線的切線，設(shè)分別與、軸交于兩點(diǎn)，且恰與以定點(diǎn)為圓心的圓相切.當(dāng)圓的面積最小時(shí)，求與面積的比．

Answer 1

【答案】（I）；（II）.

【解析】分析：（I）由，根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，即可求得拋物線方程；（II）求直線的斜率，解法一，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，根據(jù)，即可求得直線的斜率；解法二，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)，即可求得切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式方程即可求得切線方程，取得和點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，滿足題意的圓的面積最小，求得和點(diǎn)坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可求得△與△面積的比．

詳解：（Ⅰ）由題意得，

點(diǎn)到直線的距離等于它到定點(diǎn)的距離，

點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，

點(diǎn)的軌跡的方程為

（Ⅱ）解法一：由題意知切線的斜率必然存在，設(shè)為，則 ．

由 ，得，即，由，得到．

∴，

解法二：由，當(dāng)時(shí)，.

以為切點(diǎn)的切線的斜率為

以為切點(diǎn)的切線為，即，整理.

令則.

令則.

點(diǎn)到切線的距離(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào))．

∴ 當(dāng)時(shí)，滿足題意的圓的面積最小．

∴，．

∴，．

∴．

△與△面積之比為．