已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,數(shù)列的前項和為,且.
⑴證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并寫出通項公式;
⑵若恒成立,求的最小值;
⑶若成等差數(shù)列,求正整數(shù)的值.

(1)證明見解析,;(2)3;(3)

解析試題分析:(1)要證數(shù)列是等比數(shù)列,可根據(jù)題設求出,當然也可再求,雖然得出的成等比數(shù)列,但前面有限項成等比不能說明所有項都成等比,必須嚴格證明.一般方法是把已知式中的代換得到,兩式相減得,這個式子中把代換又得,兩式再相減,正好得出數(shù)列的前后項關系的遞推關系,正是等比數(shù)列的表現(xiàn).(2)由題間,對不等式用分離參數(shù)法得,求的最小值就與求的最大值(也只要能是取值范圍)聯(lián)系起來了.(3)只能由成等差數(shù)列列出唯一的等式,這個等式是關于的二元方程,它屬于不定方程,有無數(shù)解,只是由于都是正整數(shù),利用正整數(shù)的性質可得出具體的解.
試題解析:(1)當n=1時,;當n=2時,
當n3時,有得:
化簡得:3分

是1為首項,為公比的等比數(shù)列
6分
(2)
11分
(3)若三項成等差,則有
,右邊為大于2的奇數(shù),左邊為偶數(shù)或1,不成立
16分
考點:(1)等比數(shù)列的通項公式;(2)不等式恒成立與函數(shù)的最值;(3)不定方程的正整數(shù)解問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是 “平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項公式及Tn關于n的表達式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知數(shù)列的前項和為滿足.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

數(shù)列{}的前n項和為,
(Ⅰ)設,證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列的前項和;
(Ⅲ)若,數(shù)列的前項和,證明:

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

是公比大于1的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項和.已知,且構成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)令,求數(shù)列的前n項和.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

,數(shù)列滿足:,.
(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列(要指出首項與公比);
(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

數(shù)列的前n項和為,
(I)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(Ⅱ)若,數(shù)列的前n項和為,求不超過的最大整數(shù)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,
(1)求數(shù)列通項公式;
(2)若,求證:.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知{an}是由非負整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項的最大值記為An,第n項之后各項,…的最小值記為Bn,dn=An-Bn.
(I)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意n∈N*,),寫出d1,d2,d3,d4的值;
(II)設d為非負整數(shù),證明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}為公差為d的等差數(shù)列;
(III)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),則{an}的項只能是1或2,且有無窮多項為1.

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