Question

下列曲線的所有切線構(gòu)成的集合中，存在無數(shù)對互相垂直的切線的曲線是（　　）

• A、f（x）=cosx
• B、f（x）=e^x
• C、f（x）=x³
• D、f（x）=lnx

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率，將存在無數(shù)對互相垂直的切線轉(zhuǎn)化為f′（x₁）•f′（x₂）=-1有無數(shù)對x₁，x₂使之成立；對四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)判斷是否符合．

解答： 解：設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，則存在無數(shù)對互相垂直的切線，即f′（x₁）•f′（x₂）=-1有無數(shù)對x₁，x₂使之成立．
因?yàn)閥=cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=-sinx∈[-1，1]，所以f′（x₁）•f′（x₂）=sinx₁•sinx₂，當(dāng)x₁=2kπ+

π

2

，x₂=（2k+1）π+

π

2

，k∈Z，f′（x₁）•f′（x₂）=-1恒成立，正確；
由f′（x）=e^x＞0，所以不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立，B不正確；
由于f′（x）=3x²＞0，所以也不存在f′（x₁）•f′（x₂）=-1成立，C不正確；
由于f（x）=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），所以f′（x）=

1

x

＞0，D不正確．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)函數(shù)的值域與切線的斜率的關(guān)系，考查計(jì)算能力．