Question

試判斷下面的證明過(guò)程是否正確：

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1＋4＋7＋…3n－2)＝(3n－1)

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1 　　∴當(dāng)n＝1時(shí)命題成立． 　　(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即 　　1＋4＋7＋…(3k－2)＝(3k－1) 　　則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，需證 　　1＋4＋7＋…3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝(k＋1)(3k＋2)(*) 　　由于左端等式是一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為3，項(xiàng)數(shù)為k＋1的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，其和為(k＋1)(1＋3k＋1)＝(k＋1)(3k＋2) 　　∴(*)式成立，即n＝k＋1時(shí)，命題成立，根據(jù)(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*，命題成立． 　　解析：以上用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程是錯(cuò)誤的． 　　在證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式成立時(shí)，沒(méi)有用到當(dāng)n＝k時(shí)命題成立的歸納假設(shè)，故不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求． 　　第二步正確的證明方法是： 　　假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)命題成立，即 　　1＋4＋7＋…3k－2)＝(3k－1)，則當(dāng) 　　n＝k＋1時(shí)， 　　1＋4＋7＋…(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝ 　　(3k－1)(3k＋1)＝(3k2＋5k＋2) 　�。�(k＋1)(3k＋2)＝(k＋1)[3(k＋1)－1] 　　即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．