【題目】如圖,在長(zhǎng)方體中,、分別是棱,

上的點(diǎn),,

1) 求異面直線所成角的余弦值;

2) 證明平面

3) 求二面角的正弦值.

【答案】1,2)見(jiàn)解析(3

【解析】

方法一:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,

點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),依題意得,

,,

1) 解:易得,

于是

所以異面直線所成角的余弦值為

2) 證明:已知,,

于是·=0,·=0.因此,,,

所以平面

(3)解:設(shè)平面的法向量,則,

不妨令X=1,可得.由(2)可知,為平面的一個(gè)法向量.

于是,從而

所以二面角的正弦值為

方法二:(1)解:設(shè)AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=

鏈接B1C,BC1,設(shè)B1CBC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C,由,可知EF∥BC1.是異面直線EFA1D所成的角,易知BM=CM=,所以,所以異面直線FEA1D所成角的余弦值為

2)證明:連接AC,設(shè)ACDE交點(diǎn)N 因?yàn)?/span>,所以,從而,又由于,所以,故AC⊥DE,又因?yàn)?/span>CC1⊥DE,所以DE⊥平面ACF,從而AF⊥DE.

連接BF,同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?/span>,所以AF⊥平面A1ED

(3)解:連接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,NF平面ACF, A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,為二面角A1-ED-F的平面角

易知,所以,又所以,在

連接A1C1,A1F

.所以

所以二面角A1-DE-F正弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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參考公式:,其中為樣本容量.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

選物理

選歷史

總計(jì)

男生

女生

總計(jì)

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2

3

4

5

6

7

9

12

1

2

3

3

4

5

6

8

(1)請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下列網(wǎng)格紙中繪制散點(diǎn)圖;

(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程(其中保留三位小數(shù));(注:

(3)在表格中(的8個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)中,任取3個(gè)點(diǎn),記這3個(gè)點(diǎn)在直線的下方的個(gè)數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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(Ⅰ)現(xiàn)從廠家試銷(xiāo)的10天中抽取兩天,求這兩天的銷(xiāo)售量都大于40的概率;

(Ⅱ)若將頻率視作概率,回答以下問(wèn)題:

(。┯浺覐S家的日返利額為(單位:元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(ⅱ)商場(chǎng)擬在甲、乙兩個(gè)廠家中選擇一家長(zhǎng)期銷(xiāo)售,如果僅從日返利額的角度考慮,請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為商場(chǎng)做出選擇,并說(shuō)明理由.

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A. B. C. D.

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