Question

已知兩定點A（-2，0），B（1，0），動點P（x，y）滿足|PA|=2|PB|．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）求

y

x+2

的取值范圍；
（3）設(shè)點S在過點A且垂直于x軸的直線l上運動，作SM，SN與軌跡C相切（M，N為切點）．
①求證：M，B，N三點共線；
②求

SM

•

SN

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），用坐標(biāo)表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得點P的軌跡方程；
（2）利用

y

x+2

的幾何意義，轉(zhuǎn)化為P（x，y）與定點（-2，0）所連直線的斜率，故易求．
（3）①如圖，由題意知直線MN可看成是以SC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線，利用兩圓的方程的差求得直線MN的方程，從而證得直線MN過點B（1，0），從而M，B，N三點共線；
②由于

SM

•

SN

=|

SM

|•|

SN

|cos2∠MSC=|

SM

| 2•(1-2sin 2∠MSC)=(SC2-MC2)  (1-2×

MC 2

SC 2

)
設(shè)SC=m，從而建立函數(shù)關(guān)系式

SM

•

SN

=m²+

32

m2

+4，此函數(shù)在m≥4時是單調(diào)增函數(shù)，從而求出

SM

•

SN

的最小值．

解答：解：（1）已知兩定點A（-2，0），B（1，0），如果動點P滿足|PA|=2|PB|，設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），
則（x+2）²+y²=4[（x-1）²+y²]，即（x-2）²+y²=4，
所以點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，
（2）

y

x+2

=

y-0

x+2

表示P（x，y）與定點（-2，0）所連直線的斜率
而點P（x，y）在圓（x-2）²+y²=4，上運動，
設(shè)

y

x+2

=k即y=k（x+2），即kx-y+2k=0，圓心（2，0）到此直線的距離為：
d=

|2k+2k|

k2+1

，令d=2得

|2k+2k|

k2+1

=2⇒k=±

3

3

，
結(jié)合圖形易求得

y

x+2

的取值范圍為[-

3

3

，

3

3

]．
（3）①如圖，由題意知直線MN可看成是以SC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線，
設(shè)S（-2，t），C（2，0），則以SC為直徑的圓的方程為：
x²+（y-

t

2

）²=2²+（0-

t

2

）²即x²+y²-ty-4=0，又（x-2）²+y²=4
兩者作差，得：4x-ty-4=0，此方程即為直線MN的方程，
令y=0得x=1，即直線MN過點B（1，0），
從而M，B，N三點共線；
②

SM

•

SN

=|

SM

|•|

SN

|cos2∠MSC
=|

SM

| 2•(1-2sin 2∠MSC)
=(SC2-MC2)  (1-2×

MC 2

SC 2

)
設(shè)SC=m，由于MC=2，且m≥4，
∴

SM

•

SN

=m²+

32

m2

-12，此函數(shù)在m≥4時是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)m=4時，它取得最小值，最小值為：m²+

32

m2

-12=4²+

32

42

-12=6．
故

SM

•

SN

的最小值6．

點評：本題考查軌跡方程、三點共線、平面向量數(shù)量積的運算等．本題求軌跡的方法是利用的是直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．