Question

已知兩定點(diǎn)A（2，5），B（-2，1），M和N是過(guò)原點(diǎn)的直線l上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|MN|=2

2

，l∥AB，如果直線AM和BN的交點(diǎn)C在y軸上；
（Ⅰ）求M，N與C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求C點(diǎn)到直線l的距離．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 用點(diǎn)斜式求出直線l 的方程，設(shè)M（a，a），則N（a+2，a+2），設(shè)C（0，b），根據(jù)點(diǎn)共線得到①和②，
解得 a 和 b  的值，即得M，N與C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（Ⅱ）由兩點(diǎn)式求得AB的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求得C點(diǎn)到直線l的距離．

解答：解：（Ⅰ） 直線l的斜率即AB的斜率，為

5-1

2+2

=1，故過(guò)原點(diǎn)的直線l 的方程為  y=x．
設(shè)M（a，a），則N（a+2，a+2），設(shè)C（0，b），由A、C、M三點(diǎn)共線可得

5-b

2-0

=

5-a

2-a

  ①．
由B、C、N 三點(diǎn)共線可得 

1-b

-2-0

=

1-(a+2)

-2-(a+2)

   ②． 
由①②解得 a=-1，b=1，∴M（-1，-1），N（1，1），C （0，1）．
（Ⅱ）由兩點(diǎn)式求得AB的方程為 

y-1

5-1

=

x+2

2+2

，即 x-y+3=0，故C點(diǎn)到直線l的距離為 

|0-1+3|

2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式求直線方程，三點(diǎn)共線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．