Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線與C交于A，B兩點(diǎn).△ABF2的周長(zhǎng)為，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（2）設(shè)點(diǎn)P為橢圓C的下頂點(diǎn)，直線PA，PB與y＝2分別交于點(diǎn)M，N，當(dāng)|MN|最小時(shí)，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）x﹣y+1＝0

【解析】

（1）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)求得，結(jié)合橢圓離心率和求得的值，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理.通過(guò)直線的方程求得，通過(guò)直線的方程求得，由此求得的表達(dá)式并進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的最小值以及此時(shí)直線的方程.

（1）由題意可得：4a＝，，

∴a，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝1，

∴橢圓C的方程為：；

（2）點(diǎn)P（0，﹣1），F1（﹣1，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

顯然直線AB與x軸不重合，設(shè)直線AB的方程為：x＝my﹣1，則可知m≠﹣1，

聯(lián)立方程，消去y得：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，

∴，，

直線PA的方程為：（y1+1）x﹣x1y﹣x1＝0，可得，

同理，

|MN|＝||＝3||＝3，

當(dāng)m＝0時(shí)，|MN|＝6，

當(dāng)m≠0時(shí)，|MN|＝，

由于m∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），則，此時(shí)|MN|的最小值為6＜，在m＝1處取得，

綜上所述，當(dāng)|MN|最小時(shí)，直線AB的方程為：x＝y﹣1，即x﹣y+1＝0.