Question

某廠(chǎng)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬(wàn)元，但每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本（即另增加投入）0.25萬(wàn)元．市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的年需求量為500件，銷(xiāo)售的收入函數(shù)為R(t)=5t-

t2

2

(0≤t≤5，t∈N)（單位：萬(wàn)元），其中t（t∈N）是產(chǎn)品售出的數(shù)量（單位：百件）
（1）該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（x∈N）百件，生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得到的利潤(rùn)為當(dāng)年產(chǎn)量x（x∈N）的函數(shù)f（x），求f（x）；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠(chǎng)所得利潤(rùn)最大？
（3）當(dāng)年產(chǎn)量是多少時(shí)，工廠(chǎng)才不虧本？

Answer 1

（1）∵某廠(chǎng)生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本（即固定投入）為0.5萬(wàn)元，
每生產(chǎn)一百件這樣的產(chǎn)品，需要增加可變成本0.25萬(wàn)元，
公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x（x∈N）百件，
銷(xiāo)售的收入函數(shù)為R(t)=5t-

t2

2

(0≤t≤5，t∈N)，
∴當(dāng)0≤x≤5，x∈Z時(shí)，
f（x）=5x-

x2

2

-0.5-0.25x=-0.5+4.75x-

x2

2

，
當(dāng)x＞5，x∈Z時(shí)，
f（x）=25-

25

2

-0.5-0.25x=12-0.25x，
∴f（x）=

-0.5+0.475x- x2 2 ，0≤x≤5，x∈Z 12-0.25x，x＞5，x∈Z

．
（2）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，y=-0.5+4.75x-

x2

2

，
∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸x=4.75，
∴當(dāng)x=5時(shí)，y有最大值10.75；
當(dāng)x＞5時(shí)，∵y=12-0.25x是減函數(shù)，
∴x=6時(shí)，y有最大值10.50．
綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為500件時(shí)，工廠(chǎng)所得利潤(rùn)最大．
（3）當(dāng)0≤x≤5時(shí)，由y=-0.5+4.75x-

x2

2

≥0，得0≤x≤5，x∈Z；
當(dāng)x＞5時(shí)，由y=12-0.25x≥0，得5＜x≤48，x∈Z．
當(dāng)年產(chǎn)量x滿(mǎn)足1≤x≤48，x∈Z時(shí)，工廠(chǎng)不虧本．