Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）求直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一點(diǎn)P，使得=λ，
當(dāng)二面角A-B₁C₁-P的大小為30°時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）點(diǎn)C到面A₁B₁C₁的距離即為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的長，求出三棱錐C-A₁B₁C₁的底面積及高，代入三棱錐體積公式即可得到三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，分別求出直線BD₁的方向向量及平面ADB₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面B₁C₁P的法向量，結(jié)合（2）中平面ADB₁的法向量，及已知中二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)λ的方程，解方程，即可求出實(shí)數(shù)λ的值．
解答：解：（I）在Rt△A₁AD中，∠A₁AD=90°，A₁A=2，AD=1，∴．（1分）
注意到點(diǎn)C到面A₁B₁C₁的距離即為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的長，
所以．（3分）
（II）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則，，（5分）∴，
設(shè)平面ADB₁的法向量，
由得平面ADB₁的一個(gè)法向量為，（7分）
記直線BD₁與平面ADB₁所成的角為α，則，
所以直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值為．（8分）
（III）∵，∴，
又，
設(shè)平面B₁C₁P的法向量，
由得平面B₁C₁P的一個(gè)法向量為，（10分）
則，
注意到λ＞0，解得λ=2為所求．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，棱錐的體積，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立空間坐標(biāo)系將直線與平面夾角及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，是解答此類問題的關(guān)鍵．