精英家教網(wǎng)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱A1A=2,
(Ⅰ)證明:AC⊥A1B;
(Ⅱ)若棱AA1上存在一點(diǎn)P,使得
AP
PA1
,當(dāng)二面角A-B1C1-P的大小為300時(shí),求實(shí)數(shù)λ的值.
分析:(I)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出兩條直線所在的向量.利用向量之間的運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角.
(II)首先根據(jù)題意寫出P點(diǎn)的坐標(biāo),再分別求出兩個(gè)平面的法向量,然后利用向量之間的運(yùn)算求出兩個(gè)向量的夾角,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的夾角,即可求出λ的數(shù)值.
解答:解:根據(jù)題意可得:以DA,DC,DA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,
3
)
B(1,1,0),D1(-1,0,
3
),B1(0,1,
3
),C1(-1,1,
3
)
---------------(1分)
(Ⅰ)由以上可得:
AC
=(-1,1,0),
A1B
=(1,1,-
3
)

AC
A1B
=-1×1+1×1+0×(-
3
)=0

∴AC⊥A1B--------------(4分)
(Ⅱ)∵
AP
PA1
P(
1
1+λ
,0,
3
λ
1+λ
)
,
設(shè)平面AB1C1的一個(gè)法向量為
n1
=(x1,y1,z1)
,
因?yàn)?span id="f949pyc" class="MathJye">
AB1
=(-1,1,
3
),
AC1
=(-2,1,
3
)
所以
n1
AB1
=-x1+y1+
3
z1=0
n1
AC1
=-2x1+y1+
3
z1=0
,
z1=
3
則y1=-3,x1=0,
n1
=(0,-3,
3
)
-----------------------(6分)
設(shè)平面B1C1P的一個(gè)法向量為
n2
=(x2,y2z2)
,
因?yàn)?span id="fo9nmks" class="MathJye">
B1C1
=(-1,0,0),
B1P
=(
1
λ+1
,-1,
-
3
λ+1
)
所以
n2
B1C1
=-x2=0
n2
B1P
=
x2
λ+1
-y2-
3
z2
λ+1
=0

n2
=(0,
3
λ+1
,-1)
-----------------(8分)
所以cos30°=|cos<
n1
n2
>|=
|
-3
3
λ+1
-
3
|
3
(λ+1)2
+1
•2
3
=
|
3
λ+1
+1|
2
3
(λ+1)2
+1
=
3
2
-------(10分)
解得:λ=2--------------------------------------------------------------(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)證明線線垂直以及根據(jù)二面角的大小求參數(shù),解決的方法是根據(jù)題意建立空間之間坐標(biāo)系,利用向量的有關(guān)運(yùn)算解決問題,利用向量解題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力有一定的要求.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱AA1=2.
(Ⅰ)求證:C1D∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角D-A1C1-A的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)均為2a,且∠A1AD=∠A1AB=60°,則側(cè)棱AA1和截面B1D1DB的距離是
 

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(2013•泉州模擬)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD.
(Ⅰ)從下列①②③三個(gè)條件中選擇一個(gè)做為AC⊥BD1的充分條件,并給予證明;
①AB⊥BC,②AC⊥BD;③ABCD是平行四邊形.
(Ⅱ)設(shè)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都為1,且∠BAD為銳角,求平面BDD1與平面BC1D1所成銳二面角θ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•天津)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,
AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
2
6
,求線段AM的長(zhǎng).

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