精英家教網(wǎng)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,側(cè)棱AA1=2.
(Ⅰ)求證:C1D∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角D-A1C1-A的余弦值.
分析:(Ⅰ)C1D所在平面CDD1C1平行平面ABB1A1,即可證明C1D∥平面ABB1A1;
(Ⅱ)以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,求出平面A1C1D的一個(gè)法向量為
n
=(1,1,0),利用cosβ=
n
BD1
|
n
||
BD1
|
求直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)平面A1C1A的法向量為
m
=(a,b,c),利用cosα=
m
n
|
m
||
n
|
,求二面角D-A1C1-A的余弦值.
解答:解:精英家教網(wǎng)(Ⅰ)證明:四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥CC1,
又CC1?面ABB1A1,所以CC1∥平面ABB1A1,(2分)ABCD是正方形,所以CD∥AB,
又CD?面ABB1A1,所以CD∥平面ABB1A1,(3分)
所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1,
所以C1D∥平面ABB1A1.(4分)
(Ⅱ)解:ABCD是正方形,AD⊥CD,
因?yàn)锳1D⊥平面ABCD,
所以A1D⊥AD,A1D⊥CD,
如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,.(5分)
在△ADA1中,由已知可得A1D=
3

所以D(0,0,0),A1(0,0,
3
),A(1,0,0),C1(-1,1,
3
)
B1(0,1,
3
),D1(-1,0,
3
),B(1,1,0)
,
BD1
=(-2,-1,
3
)
,(6分)
因?yàn)锳1D⊥平面ABCD,
所以A1D⊥平面A1B1C1D1,A1D⊥B1D1,
又B1D1⊥A1C1,
所以B1D1⊥平面A1C1D,(7分)
所以平面A1C1D的一個(gè)法向量為
n
=(1,1,0),(8分)
設(shè)
BD1
與n所成的角為β,
cosβ=
n
BD1
|
n
||
BD1
|
=
-3
2
8
=-
3
4
(9分)
所以直線BD1與平面A1C1D所成角的正弦值為
3
4
.(10分)
(Ⅲ)解:設(shè)平面A1C1A的法向量為
m
=(a,b,c),
m
A1C1
=0,
m
A1A
=0

所以-a+b=0,a-
3
c=0
,
c=
3
,可得
m
=(3,3,
3
)
,(12分)
設(shè)二面角D-A1C1-A的大小為α,
則cosα=
m
n
|
m
||
n
|
=
6
2
21
=
42
7

所以二面角D-A1C1-A的余弦值為
42
7
.(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角,二面角及其度量,考查空間想象能力,邏輯思維能力.
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(Ⅰ)證明:AC⊥A1B;
(Ⅱ)若棱AA1上存在一點(diǎn)P,使得
AP
PA1
,當(dāng)二面角A-B1C1-P的大小為300時(shí),求實(shí)數(shù)λ的值.

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(2013•泉州模擬)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD.
(Ⅰ)從下列①②③三個(gè)條件中選擇一個(gè)做為AC⊥BD1的充分條件,并給予證明;
①AB⊥BC,②AC⊥BD;③ABCD是平行四邊形.
(Ⅱ)設(shè)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都為1,且∠BAD為銳角,求平面BDD1與平面BC1D1所成銳二面角θ的取值范圍.

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(2013•天津)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,
AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明B1C1⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為
2
6
,求線段AM的長(zhǎng).

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