【題目】在單位正方體 中，O是 的中點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）求證 ∥平面 ；

（2）求異面直線與OD夾角的余弦值；

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：

(1)由 ，結(jié)合線面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；

(2)利用空間直角坐標(biāo)系可得異面直線夾角的余弦值為 .

試題解析：

（1）解法一：連接A1D則∥A1D.

而A1D平面， 平面

所以∥平面.

解法二：設(shè)平面的一個法向量為，

由 得，令，則

所以. 又.從而

所以∥平面.

解：（2）法一：由（1）知異面直線與的夾角為或其補角.

而且O為中點，故，

所以兩異面直線與的夾角的余弦值為.

法二：設(shè)、分別為直線與的方向向量，

則由，得cos< , >= .

所以兩異面直線與的夾角的余弦值為.

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【題目】某地區(qū)預(yù)計從2015年初開始的第月，商品的價格（， ，價格單位：元），且第月該商品的銷售量（單位：萬件）.

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（2）2015年的哪一個月的銷售收入最少，最少是多少？

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（Ⅰ）求上述4名學(xué)生中報這所大學(xué)的人數(shù)中男生和女生人數(shù)相等的概率；

（Ⅱ）在報考某所大學(xué)的上述4名學(xué)生中，記為報這所大學(xué)的男生和女生人數(shù)的和，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課，為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

10

女生

20

合計

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為．

（1）請將上述列聯(lián)表補充完整：并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說明你的理由；

（2）針對于問卷調(diào)查的100名學(xué)生，學(xué)校決定從喜歡游泳的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人成立游泳科普知識宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設(shè)這兩人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

下面的臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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【題目】已知函數(shù)f(x)= ；

(1)若f(x)的定義域為 (－∞,+∞)， 求實數(shù)a的范圍；

(2)若f(x)的值域為 [0, +∞), 求實數(shù)a的范圍

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【題目】小明和爸爸周末到濕地公園進(jìn)行鍛煉，兩人上午9:00從公園入口出發(fā)，沿相同路線勻速運動，小明15分鐘后到達(dá)目的地，此時爸爸離出發(fā)地的路程為1200米，小明到達(dá)目的地后立即按原路勻速返回，與爸爸相遇后，和爸爸一起從原路返回出發(fā)地.小明、爸爸在鍛煉過程中離出發(fā)地的路程與小明出發(fā)的時間的函數(shù)關(guān)系如圖.

（1）圖中________， _______；

（2）求小明和爸爸相遇的時刻.

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【題目】如圖所示，某村積極開展“美麗鄉(xiāng)村生態(tài)家園”建設(shè)，現(xiàn)擬在邊長為1千米的正方形地塊ABCD上劃出一片三角形地塊CMN建設(shè)美麗鄉(xiāng)村生態(tài)公園，給村民休閑健身提供去處．點M，N分別在邊AB，AD上． （Ⅰ）當(dāng)點M，N分別是邊AB，AD的中點時，求∠MCN的余弦值；

（Ⅱ）由于村建規(guī)劃及保護(hù)生態(tài)環(huán)境的需要，要求△AMN的周長為2千米，請?zhí)骄俊螹CN是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由．

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【題目】已知圓，圓，動圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線.

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（2）是與圓，圓都相切的一條直線，與曲線交于兩點，當(dāng)圓的半徑最長時，求.

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N(－1,1)的部分密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為

附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.

A. 1 193 B. 1 359 C. 2 718 D. 3 413

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