Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，給出下列命題：
①若a＞b＞c，則cosA＞cosB＞cosC；
②若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinC；
③若a=40，b=20，B=25°，則△ABC有兩解；
④必存在A、B、C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立．
其中，正確命題的編號(hào)為

 

．（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：解三角形

分析：由條件利用正弦定理、三角形中大邊對(duì)大角、兩角和的正切公式判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，
∴若a＞b＞c，則由正弦定理可得 sinA＞sinB＞sinC，故①不對(duì)．
∴由A＞B＞C，可得a＞b＞c，則由正弦定理可得sinA＞sinB＞sinC，故②對(duì)．
∴若a=40，b=20，B=25°，則由正弦定理可得

40

sinA

=

20

sin25°

 sinA=2sin25°＞sin25°．
再由大邊對(duì)大角可得A＞25°，故A可能是銳角，也可能是鈍角，故△ABC有兩解，故③對(duì)．
由于tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=tanAtanBtanC-tanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
故不存在A、B、C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立，故④不對(duì)，
故答案：②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、三角形中大邊對(duì)大角、兩角和的正切公式以及命題真假的判斷，屬于中檔題．