【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為﹣1.
(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;
(2)證明:當x>0時,x2<ex

【答案】
(1)解:因為f(x)=ex﹣ax,

所以f(0)=1,即A(0,1),

由f(x)=ex﹣ax,得f′(x)=ex﹣a.

又f′(0)=1﹣a=﹣1,得a=2.

所以f(x)=ex﹣2x,f′(x)=ex﹣2.

令f′(x)=0,得x=ln2.當x<ln2時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;

當x>ln2時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

所以當x=ln2時,f(x)取得極小值,且極小值為f(ln2)=eln2﹣2ln2=2﹣ln4,f(x)無極大值.


(2)解:令g(x)=ex﹣x2,則g′(x)=ex﹣2x.

由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln2)>0,

故g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1>0,

因此,當x>0時,g(x)>g(0)>0,

即x2<ex


【解析】(1)求函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)的幾何意義即可求a的值及函數(shù)f(x)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex﹣x2 , 求函數(shù)的導數(shù),研究是的單調(diào)性和極值即可證明當x>0時,x2<ex

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