(本小題滿(mǎn)分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的點(diǎn)均在C2:(x-5)2+y2=9外,且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M,M到直線x=﹣2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.
(1)求曲線C1的方程;
(2)設(shè)P(x0,y0)(y0≠±3)為圓C2外一點(diǎn),過(guò)P作圓C2的兩條切線,分別與曲線C1相交于
點(diǎn)A,B和C,D.證明:當(dāng)P在直線x=﹣4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值.
(1).
(2)當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.
(1) 曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離,由拋物線的定義可知曲線C1為拋物線,此方程為.
(2) 當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)P的坐標(biāo)為,又,則過(guò)P且與圓
相切的切線方程為.則
整理得
設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為,則是方程①的兩個(gè)實(shí)根,


設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為,
同理由可得
這樣可得,然后展開(kāi)將代入化簡(jiǎn)即可得到定值.
由題設(shè)知,曲線上任意一點(diǎn)M到圓心的距離等于它到直線的距離,因此,曲線是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,故其方程為.
(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),P的坐標(biāo)為,又,則過(guò)P且與圓
相切得直線的斜率存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),切線方程為.
于是
整理得       ①
設(shè)過(guò)P所作的兩條切線的斜率分別為,則是方程①的兩個(gè)實(shí)根,
     ②
    ③
設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為,則是方程③的兩個(gè)實(shí)根,
所以   ④
同理可得    ⑤
于是由②,④,⑤三式得

.
所以,當(dāng)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.
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