【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)圓的方程為(x+2 )2+y2=48,F(xiàn)1是圓心,F(xiàn)2(2 ,0)是圓內(nèi)一點,E為圓周上任一點,線EF2的垂直平分線EF1的連線交于P點,設(shè)動點P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l(與x軸不重合)與曲線C交于A、B兩點,與x軸交于點M.
(i)是否存在定點M,使得 + 為定值,若存在,求出點M坐標(biāo)及定值;若不存在,請說明理由;
(ii)在滿足(i)的條件下,連接并延長AO交曲線C于點Q,試求△ABQ面積的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)∵圓的方程為(x+2 )2+y2=48的圓心F1為(﹣2 ,0),半徑為4 .
依題意點P滿足 ,且4 >丨F1F2丨,
故點P的軌跡為以F1、F2為焦點,長軸為4 的橢圓
∴曲線C的方程: .
(Ⅱ)(i)設(shè)M(t,0),設(shè)直線l的方程:x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立 ,整理得:(m2+3)y2+2mty+t2﹣12=0,
y1+y2=﹣ ,y1y2= ,
= , = ,
則 + = = ,
當(dāng)2t2+24=72﹣6t2,即t2=6時, + =1,
此時M的坐標(biāo)為(± ,0),
綜上,存在點M(± ,0),使得 + =1,
(ii)由(i)可知:t2=6,則丨AB丨= 丨y1﹣y2丨= ,
原點O直線AB的距離d= ,S△ABQ=4× × = ,
令 =μ∈[ ,+∞),則S△ABQ= = ≤ =4 ,
當(dāng)且僅當(dāng)t= ,即m=0取最大值,
∴△ABQ面積的最大值4
【解析】(Ⅰ)由足 ,且4 >丨F1F2丨,則點P的軌跡為以F1、F2為焦點,長軸為4 的橢圓,即可求得橢圓方程;(Ⅱ)(i)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,由 + = ,利用韋達定理可知2t2+24=72﹣6t2,即可求得t的值, + =1;(ii)利用弦長公式,求得丨AB丨,利用點到直線距離公式,換元,即可求得△ABQ面積的最大值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,OA是南北方向的一條公路,OB是北偏東45°方向的一條公路,某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線C.為方便游客光,擬過曲線C上的某點分別修建與公路OA,OB垂直的兩條道路PM,PN,且PM,PN的造價分別為5萬元/百米,40萬元/百米,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xoy,則曲線符合函數(shù)y=x+ (1≤x≤9)模型,設(shè)PM=x,修建兩條道路PM,PN的總造價為f(x)萬元,題中所涉及的長度單位均為百米.
(1)求f(x)解析式;
(2)當(dāng)x為多少時,總造價f(x)最低?并求出最低造價.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在(1+x+x2)n= x x2+… xr+… x2n﹣1 x2n的展開式中,把D ,D ,D …,D …,D 叫做三項式系數(shù)
(1)求D 的值
(2)根據(jù)二項式定理,將等式(1+x)2n=(1+x)n(x+1)n的兩邊分別展開可得,左右兩邊xn的系數(shù)相等,即C =(C )2+(C )2+(C )2+…+(C )2 , 利用上述思想方法,請計算D C ﹣D C +D C ﹣…+(﹣1)rD C +.. C C 的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購進16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)若花店一天購進16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
(ii)若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購進16枝還是17枝?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①雙曲線 與橢圓 有相同的焦點;
②以拋物線的焦點弦(過焦點的直線截拋物線所得的線段)為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線是相切的;
③設(shè)A,B為兩個定點,k為常數(shù),若|PA|﹣|PB|=k,則動點P的軌跡為雙曲線;
④過定圓C上一點A作圓的動弦AB,O為原點,若 則動點P的軌跡為橢圓.其中正確的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(1+x)+alog2(1﹣x)(a∈R)的圖象關(guān)于y軸對稱.
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求a的值;
(3)若函數(shù)g(x)=x﹣2f(x)﹣2t有兩個不同的零點,求實數(shù)t的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個命題:①f(x)=sin(2x﹣ )的對稱軸為x= ,k∈Z;②若函數(shù)y=2cos(ax﹣ )(a>0)的最小正周期是π,則a=2;③函數(shù)f(x)=sinxcosx﹣1的最小值為﹣ ;④函數(shù)y=sin(x+ )在[﹣ ]上是增函數(shù),其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 = .
(1)求 的值
(2)若cosB= ,b=2,求△ABC的面積S.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著霧霾日益嚴(yán)重,很多地區(qū)都實行了“限行”政策,現(xiàn)從某地區(qū)居民中,隨機抽取了300名居民了解他們對這一政策的態(tài)度,繪成如圖所示的2×2列聯(lián)表:
反對 | 支持 | 合計 | |
男性 | 70 | 60 | |
女性 | 50 | 120 | |
合計 |
(1)試問有沒有99%的把握認(rèn)為對“限行”政策的態(tài)度與性別有關(guān)?
(2)用樣本估計總體,把頻率作為概率,若從該地區(qū)所有的居民(人數(shù)很多)中隨機抽取3人,用ξ表示所選3人中反對的人數(shù),試寫出ξ的分布列,并求出ξ的數(shù)學(xué)期望.
K2= ,其中n=a+b+c+d獨立性檢驗臨界表:
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com