【題目】已知函數(shù)f(x)=log2(1+x)+alog2(1﹣x)(a∈R)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)求a的值;
(3)若函數(shù)g(x)=x﹣2f(x)﹣2t有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】
(1)解:由 解得﹣1<x<1,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī?,1)
(2)解:依題意,可知f(x)為偶函數(shù),所以f(﹣x)=f(x),即log2(1﹣x)+alog2(1+x)=log2(1+x)+alog2(1﹣x),
即(a﹣1)[log2(1+x)﹣log2(1﹣x)]=0,即 在(﹣1,1)上恒成立,所以a=1
(3)解:解法一:由(2)可知 ,
所以g(x)=x2+x﹣1﹣2t,它的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線 .
依題意,可知g(x)在(﹣1,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),
只需 ,解得 .
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
解法二:由(2)可知 ,
所以g(x)=x2+x﹣1﹣2t.
依題意,可知g(x)在(﹣1,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即方程2t=x2+x﹣1在(﹣1,1)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根,
即函數(shù)y=2t和y=x2+x﹣1在(﹣1,1)上的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
在同一坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)y=x2+x﹣1(﹣1<x<1)和y=2t的圖象,如圖所示.
觀察圖形,可知當(dāng) ,即 時(shí),兩個(gè)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是 .
【解析】(1)根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零,解出不等式,即可得出定義域,(2)由于f(x)為偶函數(shù),所以f(﹣x)=f(x),即log2(1﹣x)+alog2(1+x)=log2(1+x)+alog2(1﹣x),( a 1 ) log2 = 0 在(﹣1,1)上恒成立,所以a=1,(3)解法一:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定理可得關(guān)于t的方程組,解得即可,解法二:分別作出函數(shù)y=x2+x﹣1(﹣1<x<1)和y=2t的圖象,由圖象可得.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)圖象的作法,掌握求函數(shù)的定義域時(shí),一般遵循以下原則:①是整式時(shí),定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí),定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí),定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零,當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí),底數(shù)須大于零且不等于1,零(負(fù))指數(shù)冪的底數(shù)不能為零;圖象的作法與平移:①據(jù)函數(shù)表達(dá)式,列表、描點(diǎn)、連光滑曲線;②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換;③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱(chēng)性描繪函數(shù)圖象即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC,點(diǎn)M為棱A1B1的中點(diǎn).
求證:
(1)AB∥平面A1B1C;
(2)平面C1CM⊥平面A1B1C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,右焦點(diǎn)為F,且橢圓E上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離的最小值為2.
(1)求a,b的值;
(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓E及直線x=8分別相交于點(diǎn)M,N
①當(dāng)過(guò)點(diǎn)A,F(xiàn),N三點(diǎn)的圓半徑最小時(shí),求這個(gè)圓的方程;②若cos∠AMB= ,求△ABM的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B,左、右焦點(diǎn)分別是F1 , F2 , 在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2 , 則橢圓的離心率為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)圓的方程為(x+2 )2+y2=48,F(xiàn)1是圓心,F(xiàn)2(2 ,0)是圓內(nèi)一點(diǎn),E為圓周上任一點(diǎn),線EF2的垂直平分線EF1的連線交于P點(diǎn),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l(與x軸不重合)與曲線C交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)M.
(i)是否存在定點(diǎn)M,使得 + 為定值,若存在,求出點(diǎn)M坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(ii)在滿足(i)的條件下,連接并延長(zhǎng)AO交曲線C于點(diǎn)Q,試求△ABQ面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中的a1 , a4031是函數(shù)f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3的極值點(diǎn),則 =( )
A.1
B.2
C.
D.﹣1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a2 , a5是方程x2﹣12x+27=0的兩根,數(shù)列{an}是公差為正的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n , 且Tn=1 bn . (n∈N*)
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2x﹣3x2 , 設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1= ,an+1=f(an)
(1)求證:對(duì)任意的n∈N* , 都有0<an< ;
(2)求證: + +…+ ≥4n+1﹣4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足 ,f(1)=e,則x>0時(shí),f(x)( 。
A.有極大值,無(wú)極小值
B.有極小值,無(wú)極大值
C.既有極大值又有極小值
D.既無(wú)極大值也無(wú)極小值
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