【題目】已知橢圓方程是 =1,F(xiàn)1 , F2是它的左、右焦點(diǎn),A,B為它的左、右頂點(diǎn),l是橢圓的右準(zhǔn)線,P是橢圓上一點(diǎn),PA、PB分別交準(zhǔn)線l于M,N兩點(diǎn).
(1)若P(0, ),求 的值;
(2)若P(x0 , y0)是橢圓上任意一點(diǎn),求 的值;
(3)能否將問(wèn)題推廣到一般情況,即給定橢圓方程是 =1(a>b>0),P(x0 , y0)是橢圓上任意一點(diǎn),問(wèn) 是否為定值?證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)解:橢圓 =1的a=2,b= ,c=1,
可得A(﹣2,0),B(2,0),F(xiàn)1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),右準(zhǔn)線l:x=4,
由P(0, ),可得直線PA的方程為y= (x+2),令x=4,可得M(4,3 ),
同理可得N(4,﹣ ),
則 =(﹣1﹣4,﹣3 )(1﹣4, )=﹣5×(﹣3)﹣3 × =6
(2)解:設(shè)P(x0,y0),則 + =1,即y02=3(1﹣ ),
直線PA的方程為y= (x+2),(x0≠﹣2),
與x=4聯(lián)立,可得M(4, ),同理可得N(4, ),
則 =(﹣5,﹣ )(﹣3,﹣ )=15+
=15+ =15﹣9=6;
(3)解: 為定值2b2.
證明:由橢圓 =1,
可得A(﹣a,0),B(a,0),F(xiàn)1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),右準(zhǔn)線l:x= ,
設(shè)P(x0,y0),則 =1,即y02=b2(1﹣ ),
直線PA的方程為y= (x+a),(x0≠﹣a),
與x= 聯(lián)立,可得M( , ),
同理可得N( , ),
則 =(﹣c﹣ ,﹣ )(c﹣ ,﹣ )
= ﹣c2+ = +
= ﹣ = =2b2
【解析】(1)求得橢圓的a,b,c,可得頂點(diǎn)的坐標(biāo)和焦點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線PA的方程,求得M的坐標(biāo),同理可得N的坐標(biāo),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,可得結(jié)論;(2)設(shè)P(x0 , y0),則 1,即y02=3(1﹣ ),求得直線PA的方程,可得M的坐標(biāo),以及N的坐標(biāo),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,即可得到所求值6;(3) 為定值2b2 . 設(shè)出橢圓的左右頂點(diǎn)和焦點(diǎn),右準(zhǔn)線方程,求得直線PA的方程,可得M的坐標(biāo)和N的坐標(biāo),運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,化簡(jiǎn)整理,即可得到定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=6x﹣2,數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn , 點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)均在y=f(x)的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè) ,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求當(dāng) 對(duì)所有n∈N*都成立m取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an}中,已知a1+a2=2,a2+a3=10,求通項(xiàng)公式an及前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)事件A表示“關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有實(shí)根”,其中a,b為實(shí)常數(shù). (Ⅰ)若a為區(qū)間[0,5]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù),b為區(qū)間[0,2]上的整數(shù)值隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率;
(Ⅱ)若a為區(qū)間[0,5]上的均勻隨機(jī)數(shù),b為區(qū)間[0,2]上的均勻隨機(jī)數(shù),求事件A發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的周長(zhǎng)為l,面積為S,則△ABC的內(nèi)切圓半徑為r= .將此結(jié)論類比到空間,已知四面體ABCD的表面積為S,體積為V,則四面體ABCD的內(nèi)切球的半徑R= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 , 的夾角為120°,且| |=4,| |=2.求:
(1)( ﹣2 )( + );
(2)|3 ﹣4 |.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+ )+a的最大值為2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+5)=16,當(dāng)x∈(﹣1,4]時(shí),f(x)=x2﹣2x , 則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2016]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中, : (為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線.
(1)求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;
(2)若分別為, 上的動(dòng)點(diǎn),且的最小值為2,求的值.
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