Question

【題目】如圖1，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，△PAB是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，將△PAB沿AB邊折起，使平面PAB⊥平面ABCD，連接PC、PD，如圖2，

（1）證明：AB⊥PC；

（2）求PD與平面ABCD所成角的正弦值

（3）在線段PD上是否存在點(diǎn)N，使得PB∥平面MC？若存在，請找出N點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)．(3)存在，PN．

【解析】

（1）只需證明AB⊥面PMC，即可證明AB⊥PC；

（2）由PM⊥面ABCD得∠PDM為PD與平面ABCD所成角，解△PDM即可求得PD與平面ABCD所成角的正弦值．

（3）設(shè)DB∩MC＝E，連接NE，可得PB∥NE，．即可．

（1）證明：∵△PAB是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，

∴PM⊥AB．

∵ABCD為菱形，∠ABC＝60°．∴CM⊥AB，且PM∩MC＝M，

∴AB⊥面PMC，

∵PC面PMC，∴AB⊥PC；

（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PM⊥AB．

∴PM⊥面ABCD，

∴∠PDM為PD與平面ABCD所成角．

PM，MD，PD

sin∠PMD，

即PD與平面ABCD所成角的正弦值為．

（3）設(shè)DB∩MC＝E，連接NE，

則有面PBD∩面MNC＝NE，

∵PB∥平面MNC，∴PB∥NE．

∴．

線段PD上存在點(diǎn)N，使得PB∥平面MNC，且PN．