如圖,在三棱錐中,,,,設(shè)頂點A在底面上的射影為R.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)設(shè)點在棱上,且,試求二面角的余弦值.
(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).

試題分析:(Ⅰ)借助幾何體的中線面垂直,證明BCDE為正方形,達到證明線線垂直的目的;(Ⅱ)方法一利用定義法做出二面角,通過解三角形求解二面角的平面角;方法二建立利用空間向量法,通過兩個半平面的法向量借助夾角公式求解.
試題解析:證明:方法一:由平面,得,
,則平面
,                3分
同理可得,則為矩形,
,則為正方形,故.        5分

方法二:由已知可得,設(shè)的中點,則,則平面,故平面平面,則頂點在底面上的射影必在,故
(Ⅱ)方法一:由(I)的證明過程知平面,過,垂足為,則易證得,故即為二面角的平面角,           8分
由已知可得,則,故,則,
,則,              10分
,即二面角的余弦值為 12分
方法二: 由(I)的證明過程知為正方形,如圖建立坐標系,

,,可得,       8分
,,易知平面
的一個法向量為,設(shè)平面的一個法向量為,則由         10分
,即二面角的余弦值為.    12分
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