【題目】已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn)

(Ⅰ)求橢圓方程;

(Ⅱ)設(shè)不過原點(diǎn)的直線,與該橢圓交于兩點(diǎn),直線的斜率分別為,滿足

(i)當(dāng)變化時,是否為定值?若是,求出此定值,并證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由;

(ii)求面積的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)y2=1;(Ⅱ)(i)見解析;(ii)(0,1).

【解析】

(Ⅰ)由題設(shè)條件,設(shè)ck,a=2k,則bk,利用待定系數(shù)法能求出橢圓方程.

(Ⅱ)(i)由,得(1+4k2x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、斜率性質(zhì),結(jié)合已知條件推導(dǎo)出當(dāng)k變化時,m2是定值

②利用橢圓弦長公式,結(jié)合已知條件能求出△OPQ面積的取值范圍.

(Ⅰ)由題設(shè)條件,設(shè)ck,a=2k,則bk,

∴橢圓方程為1,

把點(diǎn)(,)代入,得k2=1,

∴橢圓方程為y2=1.

(Ⅱ)(i)當(dāng)k變化時,m2是定值

證明如下:

,得(1+4k2x2+8kmx+4(m2﹣1)=0,設(shè)

,

∵直線OP,OQ的斜率依次為k1,k2,

∴4kk1+k2

∴2kx1x2mx1+x2),由此解得,驗(yàn)證△>0成立.

∴當(dāng)k變化時,是定值

SOPQ|x1x2||m|,令t>1,

SOPQ1,

∴△OPQ面積的取值范圍SOPQ(0,1).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】墻上有一壁畫,最高點(diǎn)處離地面米,最低點(diǎn)處離地面米,距離墻米處設(shè)有防護(hù)欄,觀察者從離地面高米的處觀賞它.

1)當(dāng)時,觀察者離墻多遠(yuǎn)時,視角最大?

2)若,視角的正切值恒為,觀察者離墻的距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

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【題目】甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品(百臺),其總成本為(萬元),其中固定成本為2.8萬元,并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入(萬元)滿足,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,完成下列問題:

1)寫出利潤函數(shù)的解析式(利潤=銷售收入-總成本);

2)甲廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時,可使盈利最多?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知f(x)=,x∈(-2,2).

(1) 判斷f(x)的奇偶性并說明理由;

(2) 求證:函數(shù)f(x)在(-2,2)上是增函數(shù);

(3) 若f(2+a)+f(1-2a)>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某高校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院為了對2018年錄取的大一新生有針對性地進(jìn)行教學(xué).從大一新生中隨機(jī)抽取40名,對他們在2018年高考的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行調(diào)查,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)40名新生的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)分布在內(nèi).當(dāng)時,其頻率.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)請在答題卡中畫出這40名新生高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,并估計這40名新生的高考數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的平均數(shù);

(Ⅲ)從成績在100~120分的學(xué)生中,用分層抽樣的方法從中抽取5名學(xué)生,再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選兩人甲、乙,記甲、乙的成績分別為,求概率

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【題目】某車間的一臺機(jī)床生產(chǎn)出一批零件,現(xiàn)從中抽取8件,將其編為 ,…, ,測量其長度(單位: ),得到下表中數(shù)據(jù):

編號

長度

1.49

1.46

1.51

1.51

1.53

1.51

1.47

1.51

其中長度在區(qū)間內(nèi)的零件為一等品.

(1)從上述8個零件中,隨機(jī)抽取一個,求這個零件為一等品的概率;

(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個.

①用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;

②求這2個零件長度相等的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)1 (a>0a≠1)f(0)0.

(1)a的值;

(2)若函數(shù)g(x)(2x1)·f(x)k有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(3)當(dāng)x(0,1)時,f(x)>m·2x2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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【題目】已知,定義:表示不小于的最小整數(shù),例如:,.

1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

2)若,求時實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)設(shè),若對于任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(Ⅱ)若,求直線與平面所成角的正弦值.

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