【題目】如圖，在四棱柱中，底面是邊長為的菱形，.

（1）證明：平面平面；

（2）若，是等邊三角形，求點到平面的距離.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，可知點為的中點，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，利用菱形的性質(zhì)可得出，可得出平面，結(jié)合面面垂直的判定定理可得出結(jié)論；

（2）計算出，并推導(dǎo)出平面，平面，進(jìn)而可得出到平面的距離與點到平面的距離相等，即為.

（1）如圖，設(shè)與相交于點，連接，

因為四邊形為菱形，故，為的中點.

又，故．

又平面，平面，且，故平面.

又平面，所以平面平面；

（2）底面是邊長為的菱形，又，所以，.

又是等邊三角形，可得，，．

由（1）可知，，平面，

平面，則，所以．

設(shè)交于點，

又，，所以平行四邊形為菱形，故．

又，，，所以平面．

平面，所以.

，所以平面，故為在平面內(nèi)的射影，故點到平面的距離為．

又，平面，所以平面．

故點到平面的距離與點到平面的距離相等，

所以點到平面的距離為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線與橢圓交于不同的兩點，，試問在軸上是否存在定點使得直線與直線恰關(guān)于軸對稱？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠加工的零件按箱出廠，每箱有10個零件，在出廠之前需要對每箱的零件作檢驗，人工檢驗方法如下：先從每箱的零件中隨機(jī)抽取4個零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗；若抽取的零件至少有1個至多有3個次品，則對剩下的6個零件逐一檢驗.已知每個零件檢驗合格的概率為0.8，每個零件是否檢驗合格相互獨立，且每個零件的人工檢驗費(fèi)為2元.

（1）設(shè)1箱零件人工檢驗總費(fèi)用為元，求的分布列；

（2）除了人工檢驗方法外還有機(jī)器檢驗方法，機(jī)器檢驗需要對每箱的每個零件作檢驗，每個零件的檢驗費(fèi)為1.6元.現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗，以檢驗總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，在人工檢驗與機(jī)器檢驗中，應(yīng)該選擇哪一個？說明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是邊長為2的正方形，平面平面，且，是線段的中點，過作直線，是直線上一動點.

（1）求證：；

（2）若直線上存在唯一一點使得直線與平面垂直，求此時二面角的余弦值.

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【題目】在一次體質(zhì)健康測試中，某輔導(dǎo)員隨機(jī)抽取了12名學(xué)生的體質(zhì)健康測試成績做分析，得到這12名學(xué)生的測試成績分別為87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.

（1）請繪制這12名學(xué)生體質(zhì)健康測試成績的莖葉圖，并指出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

（2）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記表示成績不低于76分的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及期望

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計結(jié)果整理如下：

20以下

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（Ⅰ）現(xiàn)隨機(jī)抽取 1 名顧客，試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率；

（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計有5000人購物，試估計該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動圓恒過點，且與直線相切.

（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點，的平行線交軌跡于，兩點，交軌跡在處的切線于點，問：是否存在實常數(shù)使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興之夢，把我國建設(shè)成為富強(qiáng)民主文明和諧美麗的社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國，黨和國家為勞動者開拓了寬廣的創(chuàng)造性勞動的舞臺.借此“東風(fēng)”，某大型現(xiàn)代化農(nóng)場在種植某種大棚有機(jī)無公害的蔬菜時，為創(chuàng)造更大價值，提高畝產(chǎn)量，積極開展技術(shù)創(chuàng)新活動.該農(nóng)場采用了延長光照時間和降低夜間溫度兩種不同方案.為比較兩種方案下產(chǎn)量的區(qū)別，該農(nóng)場選取了40間大棚（每間一畝），分成兩組，每組20間進(jìn)行試點.第一組采用延長光照時間的方案，第二組采用降低夜間溫度的方案.同時種植該蔬菜一季，得到各間大棚產(chǎn)量數(shù)據(jù)信息如下圖：

（1）如果你是該農(nóng)場的負(fù)責(zé)人，在只考慮畝產(chǎn)量的情況下，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，對于下一季大棚蔬菜的種植，說出你的決策方案并說明理由；

（2）已知種植該蔬菜每年固定的成本為6千元/畝.若采用延長光照時間的方案，光照設(shè)備每年的成本為0.22千元/畝；若采用夜間降溫的方案，降溫設(shè)備的每年成本為0.2千元/畝.已知該農(nóng)場共有大棚100間（每間1畝），農(nóng)場種植的該蔬菜每年產(chǎn)出兩次，且該蔬菜市場的收購均價為1千元/千斤.根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，用樣本估計總體，請計算在兩種不同的方案下，種植該蔬菜一年的平均利潤；

（3）農(nóng)場根據(jù)以往該蔬菜的種植經(jīng)驗，認(rèn)為一間大棚畝產(chǎn)量超過5.25千斤為增產(chǎn)明顯.在進(jìn)行夜間降溫試點的20間大棚中隨機(jī)抽取3間，記增產(chǎn)明顯的大棚間數(shù)為，求的分布列及期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年10月1日我國隆重紀(jì)念了建國70周年，期間進(jìn)行了一系列大型慶祝活動，極大地激發(fā)了全國人民的愛國熱情.某校高三學(xué)生也投入到了這場愛國活動中，他(她)們利用周日休息時間到社區(qū)做義務(wù)宣講員，學(xué)校為了調(diào)查高三男生和女生周日的活動時間情況，隨機(jī)抽取了高三男生和女生各40人，對他(她)們的周日活動時間進(jìn)行了統(tǒng)計，分別得到了高三男生的活動時間(單位：小時)的頻數(shù)分布表和女生的活動時間(單位：小時)的頻率分布直方圖.（活動時間均在內(nèi)）

活動時間

頻數(shù)

8

10

7

9

4

2

（1）根據(jù)調(diào)查，試判斷該校高三年級學(xué)生周日活動時間較長的是男生還是女生？并說明理由；

（2）在被抽取的80名高三學(xué)生中，從周日活動時間在內(nèi)的學(xué)生中抽取2人，求恰巧抽到1男1女的概率.

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同步練習(xí)冊答案