如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直, AA1=AB=AC=1,AB⊥AC, M是CC1的中點(diǎn), N是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段A1B1上,且滿足A1P=lA1B1.
(1)證明:PN⊥AM.
(2)當(dāng)λ取何值時(shí),直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.
(3)是否存在點(diǎn)P,使得平面 PMN與平面ABC所成的二面角為45°.若存在求出l的值,若不存在,說(shuō)明理由.
(1)見解析;(2)(tan θ)max=2;(3)不存在.
第一問(wèn)中利用以軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)為平面的法向量,又正方體的棱長(zhǎng)為1,
借助于,得到結(jié)論
第二問(wèn)中,平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
則sin θ= (*)
而θ∈[0,],當(dāng)θ最大時(shí),sin θ最大,tan θ最大(θ=除外),
由(*)式,當(dāng)λ=時(shí),(sin θ)max=,(tan θ)max=2  
第三問(wèn)中,平面ABC的一個(gè)法向量為n (0,0,1).設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),
由(1)得=(λ,-1,).
求出法向量,然后結(jié)合二面角得到解得λ=-.
(1)證明 如圖,以AB,AC,AA1分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.則P(λ,0,1),N(,,0),
從而=(-λ, ,-1),=(0,1, ).
\=(-λ)×0+×1-1×=0,

∴PN⊥AM.                                             -------------4分
(2)解 平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
則sin θ= (*)
而θ∈[0,],當(dāng)θ最大時(shí),sin θ最大,tan θ最大(θ=除外),
由(*)式,當(dāng)λ=時(shí),(sin θ)max=,(tan θ)max=2        -----------6分
(3)平面ABC的一個(gè)法向量為n (0,0,1).設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為m=(x,y,z),
由(1)得=(λ,-1,).

令x=3,得m=(3,2λ+1,2(1-λ)).
∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°,
∴|cos〈m,n〉|=,解得λ=-.
故在線段A1B1上不存在點(diǎn)P                                         --------------6分
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,的中點(diǎn).
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