在四棱錐中,底面是矩形,已知,,。
(Ⅰ)求證:平面
(Ⅱ)求二面角的正切值的大小。(12分)
(1)見解析;(2).
第一問中,利用線面垂直的判定定理求證。在中,由題設(shè)PA=2,AD=2,
PD=,可得,于是
在矩形ABCD中,,又
,從而得到結(jié)論。
第二問中,過點P作于H,過點H作于E,
連接PE,又因為平面PAB,平面PAB,所以
,因而平面ABCD,
故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影,,從而得到二面角的平面角是二面角P-BD-A的平面角,然后借助于三角形求解得到。
解:(I)在中,由題設(shè)PA=2,AD=2,
PD=,可得
于是,……….2分,
在矩形ABCD中,,又….4分,
所以平面PAB!.6分,
(II)如圖所示,過點P作于H,過點H作于E,
連接PE,……….7分,
因為平面PAB,平面PAB,所以,
,因而平面ABCD,
故HE為PE在平面ABCD內(nèi)的射影,,……….8分,
從而是二面角P-BD-A的平面角。……….9分,
由題設(shè)可得,,
,……….10分,

,于是在中,
,….11分,
所以二面角P—BD—A 的正切值的大小為。………….12分
練習(xí)冊系列答案
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(本小題滿分12分)
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(1)證明:PN⊥AM.
(2)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.
(3)是否存在點P,使得平面 PMN與平面ABC所成的二面角為45°.若存在求出l的值,若不存在,說明理由.

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已知矩形與正三角形所在的平面互相垂直, 、分別為棱、的中點,,,
(1)證明:直線平面;
(2)求二面角的大。

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