Question

（本小題滿分14分）
在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，平面，，
．

（Ⅰ）若點(diǎn)在線段上，且滿足,求證：平面；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

第一問(wèn)中利用線面平行的判定定理，先得到線線平行，根據(jù)已知條件得到
過(guò)作于，連結(jié)，則則，又，所以.
又且，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
所以得到線面平行。
第二問(wèn)中，通過(guò)以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
利用平面的法向量的夾角與二面角的大小相等或者互補(bǔ)的結(jié)論，借助與代數(shù)的手段求解得到二面角的大小。
證明：（Ⅰ）過(guò)作于，連結(jié)，

則，又，所以.
又且，
所以，且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以.
又平面，平面，
所以平面.           ……4分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220215444433.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，故
以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得
.
顯然.
則，
所以.
即，故平面.
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220217379579.png" style="vertical-align:middle;" />，所以與確定平面，
由已知得，，.               ……9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220215444433.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以.
由已知可得且，
所以平面，故是平面的一個(gè)法向量.
設(shè)平面的一個(gè)法向量是.
由得   即
令，則.
所以.
由題意知二面角銳角，
故二面角的余弦值為.                            ……14分