(本題滿分14分)如圖,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,DAB為直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分別為PC、CD的中點.

(Ⅰ)試證:CD平面BEF;
(Ⅱ)設(shè)PAk·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范圍.
(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)k的取值范圍為k
本試題主要考查了立體幾何中線面的垂直的證明以及二面角的求解的綜合運用
(1)根據(jù)已知的條件,通過線線垂直來判定函數(shù)的線面垂直的證明。即由已知DF∥AB且DAD為直角,故ABFD是矩形,從而CDBF.
PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分別PC、CD的中點,故EFPD,從而CDEF,由此得CDBEF.
(2)建立合理的空間直角坐標系來表示空間向量的坐標,然后求解法向量,運用法向量的夾角來表示二面角的平面角的大小。
(Ⅰ)解法一:
(Ⅰ)證:由已知DF∥AB且DAD為直角,故ABFD是矩形,從而CDBF. ………..4分
PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分別PC、CD的中點,故EFPD,從而CDEF,由此得CDBEF.   ………..7分
(Ⅱ)連結(jié)ACBFG.易知GAC的中點.連接EG,

則在△PAC中易知ECPA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中,過CGHBD,垂足為H,連接EH.由三垂線定理知EHBD.從而EHG為二面角E-BD-C的平面角. ………..10分
設(shè)AB=a,則在△PAC中,有
BG=PA=ka.
以下計算GH,考察底面的平面圖(如答(19)圖2).連結(jié)GD.

SCBD=BD·GH=GB·OF.GH=.
在△ABD中,因為AB=a,AD=2A,得BD=a          
GB=FB=AD-a.DF-AB,從而得GH==因此tanEHG==………..12分
k>0知是銳角,故要使,必須>tan=
解之得,k的取值范圍為k………..14分
解法二:
(Ⅰ)如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為:軸建立空間直角坐標系,設(shè)AB=a,則易知點A,B,C,D,F的坐標分別為
A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).

從而=(2a,0,0), =(0,2a,0),
·=0,故
設(shè)PA=b,則P(0,0,b),而EPC中點.故
E.從而=. ·=0,故.由此得CDBEF.
(Ⅱ)設(shè)ExOy平面上的投影為G,過G作GHBD垂足為H,由三垂線定理知EHBD.
從而EHG為二面角E-BD-C的平面角.
由PA=k·AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).設(shè)H(x,y,0),則=(x-a,y-a,0),=(-a,2a,0),
·=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a     ①
又因=(x,a,y,0),且的方向相同,故,即2x+y=2a     ②
由①②解得x=a,y=a,從而,||=a.
tanEHG===.由k>0知,EHC是銳角,由EHC>得tanEHG>tan
k的取值范圍為k
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